افتح القائمة الرئيسية

ط (نسبة)

(تم التحويل من باي (رياضيات))
هذا المقال يتضمن أسماءً أعجمية تتطلب حروفاً إضافية (پ چ ژ گ ڤ ڠ).
لمطالعة نسخة مبسطة، بدون حروف إضافية

ط[بحاجة لمصدر] أو پاي () أو ثابت الدائرة، هي ثابت رياضي يستخدم في الرياضيات والفيزياء بشكل مكثف. الرمز مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير پاي. يعرف ط على أنه النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. وهو عدد حقيقي غير كسري أي لا يمكن كتابته على شكل حيث و عددان صحيحان. وهو أيضاَ عدد متسامي أي غير جبري. يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابت أرخميدس. ويساوي تقريبا 3.14159. مُثل هذا الثابت بالحرف الإغريقي منذ منتصف القرن الثامن عشر. كون عددا متساميا يعني عدم إمكانية حلحلة المعضلة القديمة جدا والمتمثلة في تربيع الدائرة.

  بعض سلسلة مقالات عن
الثابت الرياضي π

PI.svg

استعمالات: مساحة قرص • المحيط
 • في صيغ أخرى

خواص: لا نسبية  • عدد متسام
 • أقل من 22/7

قيمة: تقريبات • تذكّر

أشخاص: أرشميدس • تسو چونگچی
 • مادهافا السنغماراي • وليم جون  • جون ماكن • جون رنش

تاريخ: تسلسل زمني • كتاب

ثقافة: تشريع  • إجازة

متعلقات: تربيع الدائرة  • مسألة بازل • أخرى

بما أن تعريف پاي، يتعلق بالدائرة، فإنها موجودة بكثرة في صغات حساب المثلثات والهندسة الرياضية, خصوصا تلك التي تتعلق بالدوائر والإهليلجات والكرات. هي موجودة أيضا في صيغ من مجالات أخرى من العلوم كعلم الكون ونظرية الأعداد والإحصاء والهندسة الكسيرية والديناميكا الحرارية والميكانيكا والفيزياء الكهرومغناطيسية.

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل 1، يكون محيطها مساويا ل π.

ومن المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب ط بالقيمة أو .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الكسور المستمرة

A photograph of the Greek letter pi, created as a large stone mosaic embedded in the ground.
مُثل الثابت في هذا الفسيفساء خارج مبنى لتدريس الرياضيات في معهد برلين للتكنولوجيا.

العدد ط، كونه عددا غير جذري، لا يمكن تمثيله ككسر بسيط. هاته الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الجذرية. ولكن الأعداد غير الجذرية, بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:

ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:


قيمة مقربة

قيمة التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989


فهرست

التاريخ

العصور القديمة والوسطى

 
يمكن أن تعطي قيم مقربة ل   بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط، كان البابليون يستخدمون التقريب   بينما استخدم المصريون التقريب  .[1] ويرجع حصر قيمة   بين   و  إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا, وكان ذلك قبل ظهور الالات الحاسبة بأربعمائة سنة.

عصر التقريب بمتعددي الأضلع

 
أرخميدس طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع  .




المتسلسلات غير المنتهية

 
استعمل إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب π إلى حدود خمسة عشر رقما, كاتبا فيما بعد ""استحيي أن أقول لكم to how many figures I carried هذه الحسابات".[2]

تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداءا غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:

 

ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداءا غير منته.

في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس گريگوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.

 

هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز, تساوي   عندما يساوي z واحدا.

في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.

 

باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن.

سرعة الاقتراب

متسلسلات تحسب قيمة π بعد الدورة الأولى بعد الدورة الثانية بعد الدورة الثالثة بعد الدورة الرابعة بعد الدورة الخامسة تؤول إلى :
  4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... π = 3.1415...
  3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

كون π عددا غير جذري وكونه عددا متساميا

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حلحل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.

 

برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π عدد غير جذري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان-ماري لجاندر في عام 1794 أن   هو أيضا عدد غير جذري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر و أويلر.

عصر الحاسوب والخوارزمات التكرارية

 
جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب , ENIAC, ط.

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري. الجدير بالذكر أن فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.[3][4]



ما الهدف من حساب ط ؟

 
مع اكتشاف الرياضياتيين لخوارزمات جديدة, ومع توفر الحواسيب, عدد الأرقام المعروفة بعد الفاصلة ل ط ازداد بشكل كبير.

المتسلسلات المتقاربة بسرعة

 
سرينفاسا أينجار رامانجن، يعمل في معزل في الهند، أنتج عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب ط.


خوارزميات الحنفية

اكتشفت خوارزميتان ي عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف.

 

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الاستخدام

في الهندسة وحساب المثلثات

 
مساحة الدائرة تساوي ط مرة مساحة المربع الملون.
 
دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان دورتهما تساوي 2ط.

يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :

  • محيط دائرة شعاعها r هو  .
  • مساحة دائرة شعاعها r هي  .
  • حجم كرة شعاعها r هو  .
  • مساحة كرة شعاعها r هو  .

طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلو من أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.

في الأعداد العقدية والتحليل

 
الربط بين القوى التخيلية للعدد e والنقط الموجودة على الدائرة الوحدة التي مركزها هو مركز المستوى العقدي أعطته صيغة أويلر.

كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي, يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة, انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته, كما يلي:

 

حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :

 

حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:

 

في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2, يمكن أن تكتب كما يلي :

 

كان ايجاد قيمة هاته المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات, تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي  . هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما, مساويا ل  .

 

يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية, من أجل إعطاء قيمة مقربة ل  ، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.

في الفيزياء

يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:

 
 
 
 
 
 

في الاحتمالات والإحصاء

 
رسم بياني للدالة الغاوسية
ƒ(x) = ex2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور الأراتيب لها مساحة تساوي  .

في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π, منها ما يلي:

 
 

في الهندسة وعلم الأرض

صيغ حسابية للعدد ط

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.

النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

 

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين للدالة قوس ظا (بالإنگليزية: arctan) حيث

 

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية, وهكذا.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

 

سلاسل أخرى

هناك حسابات أخرى مثل:

  • مضروب واليس:
 

اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:

  • سلسلة سرينيفاسا:
 
  • سلسلة الاخوان تشوندوفيسكي التي سمحت لاول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:
 

و كان لخواريزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

 

ثم المعاودة:

 
 

حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

 

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ]], وبالتالي

 
 

وأخرى بالشكل,

 

حيث q = eπ, k هو عدد فردي, وabc are اعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3, تصبح الصيغة بالشكل المبسط,

 

صيغة بيلارد

  • تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:
 


في الثقافة الشعبية

 
A pi pie. The circular shape of pie makes it a frequent subject of pi puns.


قانون بولاية إنديانا لتغيير قيمتها

في 5 فبراير 1897، مرر مجلس نواب ولاية إنديانا مشروع قانون رقم 246 الذي فعلياً أعطى 3.2 كقيمة للنسبة الهندسية ط pi. وذكر المشروع، في جزء منه "نسبة القطر والمحيط [pi] هي كنسبة خمسة أرباع إلى أربعة." أي أن (4 مقسومة على 5/4) = 16/5 = 3.2 بالضبط. وقد تقدم بمشروع القانون النائب تيلر ركورد، المزارع وتاجر الأخشاب، بالنيابة عن صديقه الطبيب هاوي الرياضيات، دكتور إدوين گودوين. ولم يفهم لا الشخصين ولا سياسيي المجلس التشريعي أن المطلوب لا يصح رياضياً. ولكن سرعان ما اتضح ذلك لأستاذ الرياضيات، كلارنس والدو، في جامعة پوردو، الذي كان مستشار لمجلس شيوخ إنديانا. فأجلوا النظر في مشروع القانون بصفة مستمرة في 12 فبراير 1897. فالنسبة "ط" ، في الواقع، هي عدد لا كسري، يساوي تقريباً 3.141592.

انظر أيضاً


الهوامش

  1. ^ Richard J. Gillings (1972). Mathematics in the time of the Pharaohs. MIT press. p. 124.
  2. ^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة Newton
  3. ^ BBC News - Pi calculated to 'record number' of digits
  4. ^ موقع فابريس محطم الرقم العالمي للعام 2010 لحساب ط
  5. ^ Miller, Cole. "The Cosmological Constant" (PDF). University of Maryland. Retrieved 2007-11-08.
  6. ^ Imamura, James M (2005-08-17). "Heisenberg Uncertainty Principle". University of Oregon. Retrieved 2007-11-09.
  7. ^ Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" (PDF). Annalen der Physik. Retrieved 2007-11-09.
  8. ^ Nave, C. Rod (2005-06-28). "Coulomb's Constant". HyperPhysics. Georgia State University. Retrieved 2007-11-09.
  9. ^ "Magnetic constant". NIST. 2006 CODATA recommended values. Retrieved 2007-11-09. Check date values in: |date= (help)
  10. ^ Weisstein, Eric W (2004-10-07). "Gaussian Integral". MathWorld. Retrieved 2007-11-08.
  11. ^ Weisstein, Eric W (2005-10-11). "Cauchy Distribution". MathWorld. Retrieved 2007-11-08.

المراجع

للاستزادة

  • Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
  • Borwein, Jonathan Michael and Borwein, Peter Benjamin, "The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions", SIAM Review, 26(1984) 351–365
  • Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter Benjamin, and Bailey, David H., Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi", The American Mathematical Monthly, 96(1989) 201–219
  • Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
  • Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
  • Engels, Hermann, "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt", Historia Mathematica 4(1977) 137–140
  • Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
  • Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
  • Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
  • Lay-Yong, Lam and Tian-Se, Ang, "Circle Measurements in Ancient China", Historia Mathematica 13(1986) 325–340
  • Lindemann, Ferdinand, "Ueber die Zahl pi", Mathematische Annalen 20(1882) 213–225
  • Matar, K. Mukunda, and Rajagonal, C., "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20(1944) 77–82
  • Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
  • Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to pi", Journal of the Indian Mathematical Society, XLV, 1914, 350–372. Reprinted in G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, and B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962, pp 23–29
  • Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
  • Shanks, Daniel and Wrench, John William, "Calculation of pi to 100,000 Decimals", Mathematics of Computation 16(1962) 76–99
  • Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (reprint), ISBN 978-1-113-08573-3
  • Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446
  • Wagon, Stan, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
  • Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. Reprinted in vol. 1 (pp 357–478) of Opera Mathematica, Oxford 1693
  • Zebrowski, Ernest, A History of the Circle : Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4

وصلات خارجية