متسلسلة تايلور
متسلسلة تيلور أو مجموع تايلور Taylor series هو عبارة عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
متسلسلة تايلور المنتهية
إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للإشتقاق n مرة في النقطة
فإنه يمكن كتابتها كما يلي:
حيث تساوي:
ويمكن إعتبار متعدد الحدود (polynom)
تقريبا للدالة f في النقطة
متسلسلة تايلور اللامنتهية
إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور و عوضنا n بلانهاية فإننا نحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء يصير صفرا و المتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x
تطبيقات متسلسلة تايلور
لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق متعدد حدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الإعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.
مبرهنة تايلور
في التحليل الرياضي ، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة .
المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :
متسلسلة تيلور متعددة المتغيرات
The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with
مثال
Compute a second-order Taylor series expansion around point of a function
Firstly, we compute all partial derivatives we need
The Taylor series is
which in this case becomes
Since log(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have
for |y| < 1.
قائمة متسلسلات مكلورين لبعض الدوال الشائعة
- انظر أيضاً قائمة المتسلسلات الرياضية
Several important Maclaurin series expansions follow.[1] All these expansions are valid for complex arguments x.
متسلسلة هندسية محدودة:
متسلسلة هندسية غير محدودة:
Variants of the infinite geometric series:
Binomial series (includes the square root for α = 1/2 and the infinite geometric series for α = −1):
with generalized binomial coefficients
- حيث Bs هي أرقام برنولي.
The numbers Bk appearing in the summation expansions of tan(x) and tanh(x) are the Bernoulli numbers. The Ek in the expansion of sec(x) are Euler numbers.
انظر أيضاً
- مبرهنة تيلور
- Linear approximation
- Laurent series
- Analyticity of holomorphic functions — a proof that a holomorphic function can be expressed as a Taylor power series
- Newton's divided difference interpolation
- Difference engine
- Mean value theorem
- Madhava series
الهامش
- ^ Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).
المصادر
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
- Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
- Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
وصلات خارجية
- Eric W. Weisstein, Taylor Series at MathWorld.
- Madhava of Sangamagramma
- Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
- "Discussion of the Parker-Sochacki Method"
- Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
- Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
- Cinderella 2: Taylor expansion
- Taylor series
- Inverse trigonometric functions Taylor series