افتح القائمة الرئيسية

متسلسلة تايلور

(تم التحويل من مبرهنة تايلور)
بازدياد درجة عديدة حدود تيلور، فإنها تقترب من الدالة الصحيحة. هذا الرسم يُظهر (بالأسود) وتقريب تيلور، وعديدات الحدود بدرجات 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
دالة أسية (بالأزرق)، ومجموع أول n+1 حد من متسلسلة تيلور لها عند 0 (بالأحمر).

متسلسلة تيلور أو مجموع تايلور Taylor series هو عبارة عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

فهرست

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للإشتقاق n مرة في النقطة   فإنه يمكن كتابتها كما يلي:
 
حيث   تساوي:
 
ويمكن إعتبار متعدد الحدود (polynom)   تقريبا للدالة f في النقطة  


متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور و عوضنا n بلانهاية فإننا نحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء   يصير صفرا و المتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق متعدد حدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الإعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.


مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي ، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة .

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :


 

متسلسلة تيلور متعددة المتغيرات

The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with

 
 

مثال

 
Second-order Taylor series approximation (in gray) of a function   around origin.

Compute a second-order Taylor series expansion around point   of a function

 

Firstly, we compute all partial derivatives we need

 
 
 
 
 

The Taylor series is

 

which in this case becomes

 

Since log(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

 

for |y| < 1.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

قائمة متسلسلات مكلورين لبعض الدوال الشائعة

انظر أيضاً قائمة المتسلسلات الرياضية
 
The real part of the cosine function in the complex plane.
 
An 8th degree approximation of the cosine function in the complex plane.
 
The two above curves put together.
 
An animation of the approximation.

Several important Maclaurin series expansions follow.[1] All these expansions are valid for complex arguments x.

دالة أسية:

 

لوغاريتم طبيعي:

 
 


متسلسلة هندسية محدودة:

 

متسلسلة هندسية غير محدودة:

 

Variants of the infinite geometric series:

 
 
 

الجذر التربيعي:

 

Binomial series (includes the square root for α = 1/2 and the infinite geometric series for α = −1):

 

with generalized binomial coefficients

 

Trigonometric functions:

 
 
 
حيث Bs هي أرقام برنولي.
 
 
 
 

Hyperbolic functions:

 
 
 
 
 

Lambert's W function:

 

The numbers Bk appearing in the summation expansions of tan(x) and tanh(x) are the Bernoulli numbers. The Ek in the expansion of sec(x) are Euler numbers.

انظر أيضاً

الهامش

  1. ^ Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).

المصادر


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

وصلات خارجية