دلتا كرونيكر

In mathematics, the Kronecker delta (named after Leopold Kronecker) is a function of two variables, usually just non-negative integers. The function is 1 if the variables are equal, and 0 otherwise: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij} = \begin{cases} 0 &\text{if } i \neq j, \\ 1 &\text{if } i=j. \end{cases}} or with use of Iverson brackets: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij} = [i=j]\,} For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{12} = 0} because خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \ne 2} , whereas خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{33} = 1} because خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 = 3} .

The Kronecker delta appears naturally in many areas of mathematics, physics, engineering and computer science, as a means of compactly expressing its definition above.

In linear algebra, the خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\times n} identity matrix خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{I}} has entries equal to the Kronecker delta: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{ij} = \delta_{ij} } where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} take the values خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,2,\cdots,n} , and the inner product of vectors can be written as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_{i,j=1}^n a_{i}\delta_{ij}b_{j} = \sum_{i=1}^n a_{i} b_{i}.} Here the Euclidean vectors are defined as $n$ -tuples: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{b}= (b_1, b_2, ..., b_n) } and the last step is obtained by using the values of the Kronecker delta to reduce the summation over خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} .

It is common for $i$ and $j$ to be restricted to a set of the form ${1, 2, ..., n}$ or ${0, 1, ..., n - 1}$ , but the Kronecker delta can be defined on an arbitrary set.

الخصائص

The following equations are satisfied: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_{j} \delta_{ij} a_j &= a_i,\\ \sum_{i} a_i \delta_{ij} &= a_j,\\ \sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} &= \delta_{ij}. \end{align}} Therefore, the matrix $δ$ can be considered as an identity matrix.

Another useful representation is the following form: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{nm} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N} \sum_{k = 1}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}} This can be derived using the formula for the geometric series.

الترميز البديل

Using the Iverson bracket: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij} = [i=j ].}

Often, a single-argument notation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_i} is used, which is equivalent to setting خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=0} : خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{i} = \delta_{i0} = \begin{cases} 0, & \text{if } i \neq 0 \\ 1, & \text{if } i = 0 \end{cases}}

In linear algebra, it can be thought of as a tensor, and is written خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_j^i} . Sometimes the Kronecker delta is called the substitution tensor.^[1]

المعالجة الرقمية للإشارات

Unit sample function

In the study of digital signal processing (DSP), the unit sample function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n]} represents a special case of a 2-dimensional Kronecker delta function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} where the Kronecker indices include the number zero, and where one of the indices is zero. In this case: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n] \equiv \delta_{n0} \equiv \delta_{0n}~~~\text{where} -\infty<n<\infty}

Or more generally where: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n-k] \equiv \delta[k-n] \equiv \delta_{nk} \equiv \delta_{kn}\text{where} -\infty<n<\infty, -\infty<k<\infty}

However, this is only a special case. In tensor calculus, it is more common to number basis vectors in a particular dimension starting with index 1, rather than index 0. In this case, the relation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n] \equiv \delta_{n0} \equiv \delta_{0n}} does not exist, and in fact, the Kronecker delta function and the unit sample function are different functions that overlap in the specific case where the indices include the number 0, the number of indices is 2, and one of the indices has the value of zero.

While the discrete unit sample function and the Kronecker delta function use the same letter, they differ in the following ways. For the discrete unit sample function, it is more conventional to place a single integer index in square braces; in contrast the Kronecker delta can have any number of indexes. Further, the purpose of the discrete unit sample function is different from the Kronecker delta function. In DSP, the discrete unit sample function is typically used as an input function to a discrete system for discovering the system function of the system which will be produced as an output of the system. In contrast, the typical purpose of the Kronecker delta function is for filtering terms from an Einstein summation convention.

The discrete unit sample function is more simply defined as: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \text{ is another integer}\end{cases}}

In addition, the Dirac delta function is often confused for both the Kronecker delta function and the unit sample function. The Dirac delta is defined as: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\delta(t)dt = 1 & \forall \varepsilon > 0 \\ \delta(t) = 0 & \forall t \neq 0\end{cases}}

Unlike the Kronecker delta function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} and the unit sample function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n]} , the Dirac delta function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(t)} does not have an integer index, it has a single continuous non-integer value $t$ .

To confuse matters more, the unit impulse function is sometimes used to refer to either the Dirac delta function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(t)} , or the unit sample function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n]} .

خصائص بارزة

The Kronecker delta has the so-called sifting property that for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\in\mathbb{Z}} : خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} = a_j.} and if the integers are viewed as a measure space, endowed with the counting measure, then this property coincides with the defining property of the Dirac delta function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x)\, dx=f(y),} and in fact Dirac's delta was named after the Kronecker delta because of this analogous property.^[2] In signal processing it is usually the context (discrete or continuous time) that distinguishes the Kronecker and Dirac "functions". And by convention, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(t)} generally indicates continuous time (Dirac), whereas arguments like خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} are usually reserved for discrete time (Kronecker). Another common practice is to represent discrete sequences with square brackets; thus: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta[n]} . The Kronecker delta is not the result of directly sampling the Dirac delta function.

The Kronecker delta forms the multiplicative identity element of an incidence algebra.^[3]

العلاقة بدالة دلتا ديراك

In probability theory and statistics, the Kronecker delta and Dirac delta function can both be used to represent a discrete distribution. If the support of a distribution consists of points خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{x} = \{x_1,\cdots,x_n\}} , with corresponding probabilities خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1,\cdots,p_n} , then the probability mass function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)} of the distribution over خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{x}} can be written, using the Kronecker delta, as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta_{x x_i}.}

Equivalently, the probability density function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} of the distribution can be written using the Dirac delta function as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta(x-x_i).}

Under certain conditions, the Kronecker delta can arise from sampling a Dirac delta function. For example, if a Dirac delta impulse occurs exactly at a sampling point and is ideally lowpass-filtered (with cutoff at the critical frequency) per the Nyquist–Shannon sampling theorem, the resulting discrete-time signal will be a Kronecker delta function.

تعميمات

If it is considered as a type خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1,1)} tensor, the Kronecker tensor can be written خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^i_j} with a covariant index خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} and contravariant index خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} : خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{i}_{j} = \begin{cases} 0 & (i \ne j), \\ 1 & (i = j). \end{cases}}

This tensor represents:

The identity mapping (or identity matrix), considered as a linear mapping خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V\to V} or خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V^*\to V^*}
The trace or tensor contraction, considered as a mapping خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V^* \otimes V\to K}
The map خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\to V^*\otimes V} , representing scalar multiplication as a sum of outer products.

The generalized Kronecker delta or multi-index Kronecker delta of order خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2p} is a type خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p,p)} tensor that is completely antisymmetric in its خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} upper indices, and also in its خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} lower indices.

Two definitions that differ by a factor of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p!} are in use. Below, the version is presented has nonzero components scaled to be خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1} . The second version has nonzero components that are خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1/p!} , with consequent changes scaling factors in formulae, such as the scaling factors of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/p!} in § Properties of the generalized Kronecker delta below disappearing.^[4]

تعريفات دلتا كرونيكر المعممة

In terms of the indices, the generalized Kronecker delta is defined as:^[5]^[6] خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} = \begin{cases} \phantom-1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an even permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\ -1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an odd permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\ \phantom-0 & \quad \text{in all other cases}. \end{cases}}

Let خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{S}_p} be the symmetric group of degree خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , then: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_1}_{\nu_{\sigma(1)}}\cdots\delta^{\mu_p}_{\nu_{\sigma(p)}} = \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_{\sigma(1)}}_{\nu_1}\cdots\delta^{\mu_{\sigma(p)}}_{\nu_p}. }

Using anti-symmetrization: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = p! \delta^{\mu_1}_{[ \nu_1} \dots \delta^{\mu_p}_{\nu_p ]} = p! \delta^{[ \mu_1}_{\nu_1} \dots \delta^{\mu_p ]}_{\nu_p}.}

In terms of a خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\times p} determinant:^[7] خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} = \begin{vmatrix} \delta^{\mu_1}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_1}_{\nu_p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta^{\mu_p}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_p}_{\nu_p} \end{vmatrix}.}

Using the Laplace expansion (Laplace's formula) of determinant, it may be defined recursively:^[8] خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} &= \sum_{k=1}^p (-1)^{p+k} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k} \dots \check\mu_p}_{\nu_1 \dots \check\nu_k \dots \nu_p} \\ &= \delta^{\mu_p}_{\nu_p} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{p - 1}}_{\nu_1 \dots \nu_{p-1}} - \sum_{k=1}^{p-1} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k-1}\, \mu_k\, \mu_{k+1} \dots \mu_{p-1}}_{\nu_1 \dots \nu_{k-1}\, \nu_p\, \nu_{k+1} \dots \nu_{p-1}}, \end{align}} where the caron, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \check{}} , indicates an index that is omitted from the sequence.

When خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=n} (the dimension of the vector space), in terms of the Levi-Civita symbol: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_n}_{\nu_1 \dots \nu_n} = \varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_n}\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_n}\,.} More generally, for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=n-p} , using the Einstein summation convention: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \tfrac{1}{m!} \varepsilon^{\kappa_1 \dots \kappa_m \mu_1 \dots \mu_p}\varepsilon_{\kappa_1 \dots \kappa_m \nu_1 \dots \nu_p}\,.}

Contractions of the generalized Kronecker delta

Kronecker Delta contractions depend on the dimension of the space. For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\nu_1}_{\mu_1} \delta^{\mu_1 \mu_2}_{\nu_1 \nu_2} = (d-1) \delta^{\mu_2}_{\nu_2} ,} where $d$ is the dimension of the space. From this relation the full contracted delta is obtained as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\nu_1 \nu_2}_{\mu_1 \mu_2} \delta^{\mu_1 \mu_2}_{\nu_1 \nu_2} = 2d(d-1) .} The generalization of the preceding formulas is^{[بحاجة لمصدر]} خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\nu_1 \dots \nu_n}_{\mu_1 \dots \mu_n} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = n! \frac{(d-p+n)!}{(d-p)!} \delta^{\mu_{n+1} \dots \mu_p}_{\nu_{n+1} \dots \nu_p} .}

خصائص دلتا كرونيكر المعممة

The generalized Kronecker delta may be used for anti-symmetrization: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{\nu_1 \dots \nu_p} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\ \frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{\mu_1 \dots \mu_p} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} . \end{align}}

From the above equations and the properties of anti-symmetric tensors, we can derive the properties of the generalized Kronecker delta: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\ \frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} , \\ \frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} \delta^{\nu_1 \dots \nu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} , \end{align}} which are the generalized version of formulae written in § Properties. The last formula is equivalent to the Cauchy–Binet formula.

Reducing the order via summation of the indices may be expressed by the identity^[9] خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_s \, \mu_{s+1} \dots \mu_p} = \frac{(n-s)!}{(n-p)!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_s}_{\nu_1 \dots \nu_s}.}

Using both the summation rule for the case خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=n} and the relation with the Levi-Civita symbol, the summation rule of the Levi-Civita symbol is derived: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = \frac{1}{(n-p)!}\varepsilon^{\mu_1 \dots \mu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}\varepsilon_{\nu_1 \dots \nu_p \, \kappa_{p+1} \dots \kappa_n}.} The 4D version of the last relation appears in Penrose's spinor approach to general relativity^[10] that he later generalized, while he was developing Aitken's diagrams,^[11] to become part of the technique of Penrose graphical notation.^[12] Also, this relation is extensively used in S-duality theories, especially when written in the language of differential forms and Hodge duals.

تمثيلات التكامل

For any integer خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , using a standard residue calculation we can write an integral representation for the Kronecker delta as the integral below, where the contour of the integral goes counterclockwise around zero. This representation is also equivalent to a definite integral by a rotation in the complex plane. خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint_{|z|=1} z^{x-n-1} \,dz=\frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} \,d\varphi}

The Kronecker comb

The Kronecker comb function with period خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} is defined (using DSP notation) as: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_N[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty \delta[n-kN],} where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} are integers. The Kronecker comb thus consists of an infinite series of unit impulses $N$ units apart, and includes the unit impulse at zero. It may be considered to be the discrete analog of the Dirac comb.

تكامل كرونيكر

The Kronecker delta is also called degree of mapping of one surface into another.^[13] Suppose a mapping takes place from surface $S uvw$ to $S xyz$ that are boundaries of regions, $R uvw$ and $R xyz$ which is simply connected with one-to-one correspondence. In this framework, if $s$ and $t$ are parameters for $S uvw$ , and $S uvw$ to $S uvw$ are each oriented by the outer normal $n$ : خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=u(s,t), \quad v=v(s,t), \quad w=w(s,t), } while the normal has the direction of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{s} \mathbf{i} +v_{s} \mathbf{j} + w_{s} \mathbf{k}) \times (u_{t}\mathbf{i} +v_{t}\mathbf{j} +w_{t}\mathbf{k}).}

Let $x = x (u, v, w)$ , $y = y (u, v, w)$ , $z = z (u, v, w)$ be defined and smooth in a domain containing $S uvw$ , and let these equations define the mapping of $S uvw$ onto $S xyz$ . Then the degree $δ$ of mapping is $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/4π$ times the solid angle of the image $S$ of $S uvw$ with respect to the interior point of $S xyz$ , $O$ . If $O$ is the origin of the region, $R xyz$ , then the degree, $δ$ is given by the integral: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta=\frac{1}{4\pi}\iint_{R_{st}}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac32} \begin{vmatrix} x & y & z \\ \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial s} \\ \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{vmatrix} \, ds \, dt.}

انظر أيضاً

المراجع

^ Trowbridge, J. H. (1998). "On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves". Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. 15 (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. doi:10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2.
^ Dirac, Paul (1930). The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.). Oxford University Press. ISBN 9780198520115.
^ Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence Algebras, Pure and Applied Mathematics, 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8, https://archive.org/details/incidencealgebra0000spie .
^ Pope, Christopher (2008). "Geometry and Group Theory" (PDF).
^ Frankel, Theodore (2012). The Geometry of Physics: An Introduction (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107602601.
^ Agarwal, D. C. (2007). Tensor Calculus and Riemannian Geometry (22nd ed.). Krishna Prakashan Media.^{[بحاجة لمُعرِّف الكتاب]}
^ Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
^ A recursive definition requires a first case, which may be taken as $δ = 1$ for $p = 0$ , or alternatively $δ μ ν = δ μ ν$ for $p = 1$ (generalized delta in terms of standard delta).
^ Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
^ Penrose, Roger (June 1960). "A spinor approach to general relativity". Annals of Physics (in الإنجليزية). 10 (2): 171–201. Bibcode:1960AnPhy..10..171P. doi:10.1016/0003-4916(60)90021-X.
^ Aitken, Alexander Craig (1958). Determinants and Matrices. UK: Oliver and Boyd.
^ Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971).
^ Kaplan, Wilfred (2003). Advanced Calculus. Pearson Education. p. 364. ISBN 0-201-79937-5.

This article may include material from Wikimedia licensed under CC BY-SA 4.0. Please comply with the license terms.

[Trowbridge-1] Trowbridge, J. H. (1998). "On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves". Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. 15 (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. doi:10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2.

[2] Dirac, Paul (1930). The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.). Oxford University Press. ISBN 9780198520115.

[3] Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence Algebras, Pure and Applied Mathematics, 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8, https://archive.org/details/incidencealgebra0000spie .

[4] Pope, Christopher (2008). "Geometry and Group Theory" (PDF).

[5] Frankel, Theodore (2012). The Geometry of Physics: An Introduction (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107602601.

[6] Agarwal, D. C. (2007). Tensor Calculus and Riemannian Geometry (22nd ed.). Krishna Prakashan Media.^{[بحاجة لمُعرِّف الكتاب]}

[7] Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.

[8] A recursive definition requires a first case, which may be taken as $δ = 1$ for $p = 0$ , or alternatively $δ μ ν = δ μ ν$ for $p = 1$ (generalized delta in terms of standard delta).

[9] Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.

[10] Penrose, Roger (June 1960). "A spinor approach to general relativity". Annals of Physics (in الإنجليزية). 10 (2): 171–201. Bibcode:1960AnPhy..10..171P. doi:10.1016/0003-4916(60)90021-X.

[11] Aitken, Alexander Craig (1958). Determinants and Matrices. UK: Oliver and Boyd.

[12] Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971).

[13] Kaplan, Wilfred (2003). Advanced Calculus. Pearson Education. p. 364. ISBN 0-201-79937-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]