محدد

في الجبر الخطي، المحدد determinant هو دالة رياضية تعتمد على العدد n و يربط قيمة قياسية scalar هي det(A) بكل مصفوفة مربعة n×n .

المعنى الهندسي الأساسي للمحدد هو انه بمثابة عامل المقياس للحجم عندما يعتبر A تحويلا خطيا . المحددات مهمة جدا في التحليل الرياضي (قاعدة الاستبدال) و الجبر الخطي المتعدد multilinear algebra .

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A بالرمز |A|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انواع المحددات

بداية لا يمكن حساب المحدد إلا للمصفوفة المربعة ويكون المحدد بحسب ابعاد المصفوفة فإن كانت المصفوفة المربعة ذات بعد n يكون المحدد من المرتبة n , ويعطي المحدد قيمة عددية للمصفوفة المقابلة

 حساب المحددات

• حساب المحدد من المرتبة الاولى يملك نفس قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة المقابلة
• حساب المحدد من المرتبة الثانية ويكون وفق القانون :

A=${\begin{vmatrix}a11&a12\\a21&a22\end{vmatrix}}\,=a11*a22-a12*a21$

• حساب المحدد من المرتبة الثالثة :
  • طريقة ساروس :
    

    طريقة ساروس لحساب محدد من المرتبة الثالثة
  • طريقة النجمة :
    

    طريقة النجمة

الخطوات : الخطوة الأولى :

نأخذ عناصر القطر الرئيسي ونصل بينها بخط ...

ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليمينية العليا وهو a_13 ونصله بخط مع العنصر a_32

ثم نصل بخط بين العنصرين a_32 و a_21

ثم نصل بين a_21 و a_13 كي نشكل مثلثاً ..

وأيضاً نشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين a_31 مع a_12 وبين a_12 مع a_23 ثمَّ بين a_23 مع ئ_31 نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونجمع الجداءات

أي (a11 * a22 * a33)+(a13 * a21 * a32)+(a31 * a12 * a23)

الخطوة الثانية : نأخذ عناصر القطر الثانوي ونصل بينها بخط ... ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليسارية العليا وهو a_11 ونصله بخط مع العنصر a_23 ثم نصل بخط بين العنصرين a_23 و a_32 ثم نصل بين a_32 و a_11 كي نشكل مثلثاً ..

ونشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين 33 a مع a21 وبين a21 مع a12 ثمَّ بين a12 مع a33 أيضاً نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونطرح الجداءات من الناتج السابق أي: - (a13 * a22 * a31) – (a11 * a23 * a32) – (a12 * a21 * a33) بجمع المقدارين ينتج لدينا قيمة المحدد ...

مثال : احسب قيمة المحدد التالي : A=${\begin{vmatrix}1&0&3\\2&1&5\\2&1&3\end{vmatrix}}\,$

الحل : بحسب طريقة ساروس نأخذ العمودين الأول والثاني ونضعهما على يمين العمود الثالث .. ثم نكمل الحساب كما في السابق : |A|= 3 + 0 + 6 - 6 - 5 – 0 = - 2

2- طريقة النجمة : ( 3 + 6 + 0 ) + (-6 -5 -0) = -2

• حساب المحددات من المرتبة n

لتكن A=[a_ij ] مصفوفة مربعة من المرتبة n محددها هو |A| ندعو المحدد |Aij| والناتج من حذف السطر i والعمود j في المحدد |A| بصغير العنصر aij من المصفوفة A وندعو $Aij=(-1)^{i}+j.|A_{(}ij)|$ بالمتمم الجبري للعنصر aij من المصفوفة A

إن Aij هي المتممات الجبرية للمصفوفة [A=[a_ij من أجل جميع : i= 1, 2, ……n j = 1,2,…….n

يمكن حساب قيمة المحدد |A| من المرتبة n بنشره وفق عناصر السطر i كما يلي :

|A| = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 .Ai3 + ……………+ ain. Ain

---

تعريف: لتكن A مصفوفة مربعة من المرتبة n أي أنَّ : $A=[a_{ij}]_{n}$

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

ندعو الرمز |A| أو det A بمحدد المصفوفة A من المرتبة n ونكتب :

det A = $\left|a_{ij}\right|_{n}$ = $\left|A\right|_{n}$ = $\left|A\right|$

مثال :

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\end{vmatrix}}$ = $\left|A\right|$

أنواع المحددات :

1. المحدد من المرتبة الأولى :

$|a_{11}|$ = $|A|_{1}$ ===> $A=[a_{11}]$

1. المحدد من المرتبة الثانية :

---

 خواص المحددات

1.إن |A|=|At| إي أنه :إذا بدلنا في مواقع الأسطر والأعمدة فإن المحدد للمصفوفة A لا تتغير قيمته أي جعلنا الأسطر أعمدة والأعمدة أسطر فإن قيمة المحدد لا تتغير وكل خاصة صحيحة من أجل الأعمدة صحيحة من أجل الأسطر والعكس صحيح .

مثال :

|A| = ${\begin{vmatrix}1&2\\3&2\end{vmatrix}}\,=-4$

|At| =${\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}}\,=-4$

2.إذا بدلنا بين موضعي سطرين (أو عمودين ) في المحدد |A| فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير ولكـــن :: تكون مخالفة بالإشارة

3.إذا كانت جميع عناصر أحد الأسطر (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما تساوي الصفر فإن قيمة هذا المحدد تكون معدومة .

مثال

|A|=${\begin{vmatrix}0&1&5&1\\0&2&6&1\\0&3&7&1\\0&4&8&1\end{vmatrix}}\,=0$

لأن العمود الاول كله اصفار.

4.إذا وُجِدَ في محدد سطرين (أو عمودين) متماثلين فإن قيمة هذا المحدد تكون مساوية للصفر .

5.إذا وُجِدَ في محدد سطران متناسبان (أو عمودان متناسبان) فإن قيمة هذا المحدد تساوي الصفر

مثال

|A|=${\begin{vmatrix}3&6&9\\1&2&3\\1&2&1\end{vmatrix}}\,$ = 18 - 6 - 18 – 18 + 18 + 6 =0

لوجود سطرين متناسبين

6.محدد مصفوفة مثلثية سفلية ( أو علوية ) يساوي إلى جداء عناصر قطرها الرئيسي

مثال :

|A|=${\begin{vmatrix}1&1&5&1\\0&2&6&1\\0&0&7&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}}=14$

7.إذا كانت جميع عناصر سطر ما أو عمود ما في محدد عبارة عن مجموع عنصرين فإن هذا المحدد يفرق إلى مجموع محددين .

أي : إذا كان السطر i يكتب بالشكل $x1+y1x2+y2x3+y3xn+yn$

فإن المحدد |A| يكتب بالشكل :

مثال :

A=${\begin{vmatrix}1&2&5\\0&5&12\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ =${\begin{vmatrix}1&2&5\\-1+1&3+2&7+5\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ =${\begin{vmatrix}1&2&5\\-1&3&7\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ + ${\begin{vmatrix}1&2&5\\1&2&5\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$

8.إذا ضربنا أحد الأسطر{ جميع عناصر هذا السطر } (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما بعدد ثابت غير معدوم فإن قيمة هذا المحدد تكون مضروبة بهذا العدد.

مثال :

|A| =${\begin{vmatrix}3&9&18\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix}}\,$

|A| =3* ${\begin{vmatrix}1&3&6\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix}}\,$

9.قيمة محدد المصفوفة الواحدية هو الواحد

10.لا تتغير قيمة المحدد إذا أضفنا أو طرحنا إلى أحد عناصر أسطره (أو أحد عناصر أعمدته ) العناصر المقابلة لها من سطر آخر ( أو عمود آخر ) بعد ضربها بعدد ما لا يساوي الصفر .

مثال احسب قيمة المحدد التالي :

${\begin{vmatrix}2&4&-1&5\\3&0&-3&1\\-1&1&4&3\\1&-5&2&1\end{vmatrix}}\,$

الحل : نستخدم الطريقة المباشرة ننشر حسب السطر الثاني لوجود صفر فيه