افتح القائمة الرئيسية

التفاضل والتكامل

(تم التحويل من Calculus)
هذا المقال يتضمن أسماءً أعجمية تتطلب حروفاً إضافية (پ چ ژ گ ڤ ڠ).
لمطالعة نسخة مبسطة، بدون حروف إضافية

حساب التفاضل والتكامل (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات اللانهائية، وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيراً ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة،وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات، ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

وينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فيه الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحي والتفاضل والتكامل العلائقي والتفاضل والتكامل المؤكد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

فهرست

التاريخ

 
إسحاق نيوتن طور استخدام التفاضل والتكامل في كتابه قوانين الحركة والجاذبية.
 
گوتفريد لايبنتز كان أول من نشر نتائجه حول تطوير التفاضل والتكامل.

التفاضل والتكامل ويطلق عليه أحيانا علم الحسبان. ومع أن اصول حسابِ التكامل تَعتبرُ قديمة جدا إلى ما قبل ظهورها في لغة يُونانِيَّة قدِيمَة، فهناك دليل أن المصريون القدماء لَرُبَما كانوا على علم بمثل هذه المعرفةِ أيضاً. (انظر ورق بردي موسكو الرياضي. ) يعتبر مع طريقة ، التي جَعلَت من الممكن حِساب المساحات وحجومِ المناطقِ والمواد الصلبةِ. طوّرَ أرخميدس هذه الطريقةِ أبعد من ذلك ، كما اخترع طرقا أيضاً التي تَشْبهُ المفاهيمَ المعاصرةَ.

عالم رياضيات هندي، باسكارا (1114-1185)، أعطىَ مثالَ على ما يدعى الآن "معامل تفاضلي" والفكرة الأساسية التي تعرف الآن بنظرية رول ". في القرن الرابع عشر قام عالم رياضيات هندي مادافا سويّة مع علماءِ الرياضيات الآخرينِ مدرسة كيرالا بانشاء طرق رئيسيةَ ادت إلى حساب التفاضل والتكاملِ الذي لَمْ يظهر من جديد في أي مكان في العالم حتى القرن السابع عشرِ مِن قِبل نيوتن ولايبتز. لايبنتز و نيوتن هما مخترعي حساب التفاضل والتكاملِ ، بشكل رئيسي لإكتشافاتِهم المنفصلةِ للنظريةِ الأساسيةِ لحساب التفاضل والتكاملِ والعملِ على الترقيمِ.


لقد كَانَ هناك نِقاشُ كبيرُ حول اسهام نيوتن أَو لايبنتز في أولوية اكتشاف المفاهيمِ المهمةِ لحساب التفاضل والتكاملِ.

الإسهام الثاني لتطويرِ حساب التفاضل والتكاملِ ييعزى إلى باروو، ديكارت، دي فيرما، هايغنس، و والس. اضافة لعالم رياضيات ياباني، كوا سيكي، الذي عاشَ في نفس الوقت مع لايبنتز ونيوتن وأسهبَ في بعض المبادئِ الأساسيةِ أيضاً مِنْ حسابِ التكامل، مع ذلك هذا لَمْ يُعْرَفُ في الغربِ في ذلك الوقت، ولم يكن لذيه عِنْدَهُ إتصالُ مَع العلماءِ الغربيينِ.


النهايات

 
حساب التفاضل والتكامل. ترجمة محمود بن أحمد. المكتبة البولاقية، مصر، 1916. لقراءة الكتاب، اضغط على الصورة.

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة   هي دالة حقيقية وأن   عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

 

أي أن الدالة   تكون قريبة جدا حسبما نريد من   عندما تقترب   من العدد   ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية  , عندما   تؤول إلى  , هي  ).


التفاضل والاشتقاق

 
Tangent line at (x, f(x)). The derivative f′(x) of a curve at a point is the slope (rise over run) of the line tangent to that curve at that point.

يَقِيسُ الإشتقاقُ حسّاسيةَ متغيّرِ تابع ( دالة ) بالنسبة إلى التغير في المتغيّرِ المستقل. أي تلميح الصيغةُ:

سرعته (إشتقاق الموضع بالنسبة للزمن) في سيارة تَصِفُ التغيرَ في الموقعِ نسبة إلى التغيرَ بمرور الزمن. يجب أن نتذكر أيضا أن السرعة نفسها قَدْ تَتغيّرُ في حالة الحركات المتسارعة ؛ يَتعاملُ حساب التفاضل والتكاملُ مع هذه الحالةِ الأكثر تعقيداً لكن الطبيعيةِ والمألوفةِ.

يُقرّرُ حسابُ التفاضل سرعة آنية ، بأي معيّنة مُعطية لحظة بمرور الوقت، ليس فقط سرعة متوسطة أثناء فترة مِنْ الوقتِ. سرعة الصيغةَ = مسافة / قدّمَ وقتُ إلى a لحظة وحيدة خارجُ القسمة بلا معنى "صفر منقسمة بحلول الصفر ". هذا مُتَجَنّبُ، على أية حال، لأن مسافةَ خارجَ القسمة / وقت لَمْ يُستَعملْ لa لحظة وحيدة (كما في a ما زالَتْ صورة)، لكن لفتراتِ الوقتِ الذي قصيرة جداً.

يُجيبُ الإشتقاقُ على السؤالِ: عندما يقارب الفترة الزمنية الصفر فما هي قيمة السرعة الوسطية المحسوبة عندئذ ؟ .

بشكل رسمي أكثر، يُعرّفُ حسابَ تفاضل النسبةَ الآنيةَ للتغيرِ ( إشتقاق ) من اجل دالة رياضية ل قيمة، إلى تغير المتغير المستقل لهذه الدالة.

إشتقاق دالة يَعطي معلومات حول القِطَعِ الصغيرةِ مِنْ مخططها البياني. فهو على علاقةُ مباشرة بإيجاد حدود عليا وحدود دنيا لدالة ؛ لأن في تلك النقاطِ يكون الرسم البياني معدوم التغير (وبمعنى آخر: إنّ ميل الرسم البياني في تلك النقاط صفر). التطبيق الآخر لحسابِ التفاضل هي طريقة نيوتن، وهي خوارزمية لإيجاد جذور دالة رياضية بتَقريب الدالة مِن قِبل مماساتها .

يتم اشتقاق التفاضل للدالة   من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

 
  • مشتفة الثابت :
 

عندما a هو عدد ثابت اذن

 
  • مشتفة الدوال الاسية:
 

اذا كان r عدد حقيقي اذن:

 

مثال على ذلك:  ,

 


  • مشتفةالدوال الأسيه واللوغاريتمية :
 
 
 
 
 
 
 
  • مشتقة دوال المثلثات العكسية:
 
 
 


التكامل


 
Constant Velocity
 
Integration can be thought of as measuring the area under a curve, defined by f(x), between two points (here a and b).

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الاشتقاق العكسي

يعطى التكامل الغير محدود لتابع   رياضي بالعلاقة:

 
حيث
 

التكامل المحدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

 

تطبيقات

 
The logarithmic spiral of the Nautilus shell is a classical image used to depict the growth and change related to calculus

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة, الكيمياء, الهندسة, الاقتصاد, الحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والادبية. هنا بعض الامثلة:


انظر أيضاً

قوائم


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

موضوعات أخرى متعلقة

المصادر

الهوامش

كتب

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). Calculus, 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
  • McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
  • Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2006). Calculus: One and Several Variables (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-69804-3.
  • Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
  • Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), Calculus, 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X

مصادر أخرى

قراءات إضافية

  • Boyer, Carl Benjamin (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Development. Hafner. Dover edition 1959, ISBN 0-486-60509-4
  • Courant, Richard ISBN 978-3-540-65058-4 Introduction to calculus and analysis 1.
  • Edmund Landau. ISBN 0-8218-2830-4 Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
  • Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
  • Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
  • John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
  • Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1–46.
  • Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
  • Cliff Pickover. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
  • Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
  • Tom M. Apostol. (1967). ISBN 978-0-471-00005-1 Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
  • Tom M. Apostol. (1969). ISBN 978-0-471-00007-5 Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
  • Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
  • Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
  • Thomas/Finney. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
  • Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • Howard Anton,Irl Bivens,Stephen Davis:"Calculus",John Willey and Sons Pte. Ltd.,2002.ISBN 978-81-265-1259-1

كتب أونلاين

وصلات خارجية

قالب:Integral قالب:Infinitesimals