الطوبولوجيا التفاضلية

في الرياضيات، الطوبولوجيا التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد فروع Manifold قابل للمفاضلة أيضا ، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية .

نظرية مورس لدالة الارتفاع على torus يمكن أن تصف its homotopy type.

أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة بإستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة ، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 جوهري مقابل عرضيِ

منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية  : حيث يتم اعتبار المنحنى والسطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواسِ. كانت البداية بعملِ ريمان، حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر .

إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الإتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه .

وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ .

 الطبولوجيا التفاضلية مقابل الهندسة التفاضلية

للمزيد من المعلومات: الهندسة والطبولوجيا

Differential topology and differential geometry are first characterized by their similarity. They both study primarily the properties of differentiable manifolds, sometimes with a variety of structures imposed on them.

تحريك لقدح قهوة يتحول إلى شكل دونـَت

One major difference lies in the nature of the problems that each subject tries to address. In one view, differential topology distinguishes itself from differential geometry by studying primarily those problems that are inherently global. Consider the example of a coffee cup and a donut. From the point of view of differential topology, the donut and the coffee cup are the same (in a sense). This is an inherently global view, though, because there is no way for the differential topologist to tell whether the two objects are the same (in this sense) by looking at just a tiny (local) piece of either of them. They must have access to each entire (global) object.

From the point of view of differential geometry, the coffee cup and the donut are different because it is impossible to rotate the coffee cup in such a way that its configuration matches that of the donut. This is also a global way of thinking about the problem. But an important distinction is that the geometer does not need the entire object to decide this. By looking, for instance, at just a tiny piece of the handle, they can decide that the coffee cup is different from the donut because the handle is thinner (or more curved) than any piece of the donut.

To put it succinctly, differential topology studies structures on manifolds that, in a sense, have no interesting local structure. Differential geometry studies structures on manifolds that do have an interesting local (or sometimes even infinitesimal) structure.

More mathematically, for example, the problem of constructing a diffeomorphism between two manifolds of the same dimension is inherently global since locally two such manifolds are always diffeomorphic. Likewise, the problem of computing a quantity on a manifold that is invariant under differentiable mappings is inherently global, since any local invariant will be trivial in the sense that it is already exhibited in the topology of $\mathbb {R} ^{n}$. Moreover, differential topology does not restrict itself necessarily to the study of diffeomorphism. For example, symplectic topology—a subbranch of differential topology—studies global properties of symplectic manifolds. Differential geometry concerns itself with problems—which may be local or global—that always have some non-trivial local properties. Thus differential geometry may study differentiable manifolds equipped with a connection, a metric (which may be Riemannian, pseudo-Riemannian, or Finsler), a special sort of distribution (such as a CR structure), and so on.

This distinction between differential geometry and differential topology is blurred, however, in questions specifically pertaining to local diffeomorphism invariants such as the tangent space at a point. Differential topology also deals with questions like these, which specifically pertain to the properties of differentiable mappings on $\mathbb {R} ^{n}$ (for example the tangent bundle, jet bundles, the Whitney extension theorem, and so forth).

The distinction is concise in abstract terms:

• Differential topology is the study of the (infinitesimal, local, and global) properties of structures on manifolds that have only trivial local moduli.
• Differential geometry is such a study of structures on manifolds that have one or more non-trivial local moduli.

 هندسة المنحنيات التفاضلية

• قائمة بمواضيع المنحنيات
• Frenet-Serret formulas
• المنحنيات في الهندسة التفاضلية
• عنصر خط
• انحناء Curvature
• نصف قطر الانحناء Radius of curvature
• Osculating circle
• منحني Curve

 هندسة السطوح التفاضلية

• سطح محكوم Ruled surface
• سطح مخروطي Conical surface
• انحناء متوسط Mean curvature
• Theorema egregium
• مبرهنة گاوس-بونيه Gauss-Bonnet theorem

 الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet theorem

• حسبان متعدد المتغيرات,
• متعدد التفرع Manifold
• شعاع مماسي أو متجه مماسي Tangent vector
• فضاء مماسي Tangent space
• حزمة مماسات Tangent bundle
• فضاء مماسي مرافق Cotangent space
• حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
• حزمة شعاعية Vector bundle
• حقل شعاعي Vector field
• حقل تينسوري Tensor field
• شكل تفاضلي Differential form
• مشتق خارجي Exterior derivative
• مبرهنة فروبنيوس Frobenius theorem
• اتصال (رياضيات) Contact (mathematics

 طوبولوجيا تفاضلية

• تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
  • Large diffeomorphism
• قابلية توجيه Orientability
• مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
• قيمة حرجة Critical value
• نقطة سادل Saddle point
• نظرية مورس Morse theory
• مشتق لاي Lie derivative
• مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
• مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
• مبرهنة ستوكس Stokes' theorem
• De Rham cohomology
• مفارقة سميل Smale's paradox

 حزم ليفية Fiber bundles

• Fiber bundle
• حزمة مبدئية Principal bundle
  • حزمة إطار Frame bundle
  • حزمة هوبف Hopf bundle
• حزمة مترافقة Associated bundle
• حزمة شعاعية Vector bundle
  • حزمة مماسية Tangent bundle
  • حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
  • حزمة خط Line bundle
• حزمة مفصلية Jet bundle

 هندسة ريمانية

• List of coordinate charts
• تينسور متري Metric tensor
• متعدد تفرع ريماني Riemannian manifold
• هندسة لااقليدية Non-Euclidean geometry
  • زيادة زاوية Angle excess
  • عالم-كرة Sphere-world
• معامل نجمة هودج Hodge star operator
• حقل شعاع قاتل Killing vector field
• جيوديسي Geodesic
  • جيوديسي أولي Prime geodesic
• Geodesic flow
• إسقاط أسي Exponential map
• Injectivity radius
• حقل جاكوبي Jacobi field
• مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
• مبرهنة مايرز Myers theorem
• فضاء متناظر Symmetric space
• سطح فائق Hypersurface
• مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
• مبرهنة الانضغاط لگروموڤ Gromov's compactness theorem
• حدسية شيانگ-لوسون Hsiang-Lawson's conjecture
• متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold

 بنى متعددة

• متري جوهري Intrinsic metric
• متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
• متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
• نسبية عامة General relativity
• هولونومي (تقييد تام) Holonomy ، هولونومي محلية
• G-structure
• متعدد تفرع معقد Complex manifold ،
• متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
• متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
  • Calabi-Yau spaces
• Hyperkähler manifold
• Symplectic topology
• هندسة اتصال Contact geometry
• G2 manifold
• Foliation
• شروط التكاملية للجمل التفاضلية
• هندسة فينسلر Finsler geometry
• هندسة معلومات Information geometry

 انحناء Curvature

المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني

• Theorema Egregium
• مبرهنة غاوس-بونيت Gauss-Bonnet theorem
• اسقاط غاوس Gauss map
• شكل أصلي ثان Second fundamental form
• شعاع انحناء Curvature vector
• شكل الانحناء Curvature form
• تينسور الانحناء Curvature tensor
• انحناء جيوديسي Geodesic curvature
• انحناء مقياسي Scalar curvature
• انحناء مقطعي Sectional curvature
• انحناء ريتشي Ricci curvature ، انبساط ريتشي Ricci flat
• انحناء ويلي Weyl curvature
• جريان ريتشي Ricci flow
• سطح أصغري Minimal surface
• تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
  • شكل التواصل Connection form
    • مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
    • Chern-Weil homomorphism
  • تواصل كارتان Cartan connection
    • تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
    • Vierbein
    • نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
  • مشتق متباين مترافق Covariant derivative
  • تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
  • إطار متحرك Moving frame
  • نقل متوازي Parallel transport
  • عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مواضيع أخرى

• Envelope (mathematics)
• تحويل بيكلوند Bäcklund transform

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Differential topology", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104