دالة رياضية

الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق $X\!$ عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر $Y\!$ . أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية $f\colon X\rightarrow Y,x\rightarrow f(x)\!$

مخطط التابع

{\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}

ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :

لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق Domain )غالباً ما تدعى $X\!$ .
لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى $Y\!$ .
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق $X\!$ ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر $Y\!$ .
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر $Y\!$ أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق $X\!$ .

A function ƒ takes an input, x, and returns an output ƒ(x). One metaphor describes the function as a "machine" or "black box" that converts the input into the output.

فاذا كان المنطلق (المجال) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير المستقل x ، فإن المستقر أو النطاق المرافق (المجال المقابل) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة $f(x)\!$ .

المجال المقابل ( أو المدى ) Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f .

و يجب عدم الخلط بين المجال و المستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .

غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها $R$ (الدوال العددية), أو $C$ (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تعريف

تُعَرّف الدالة عامة بأنها قاعدة د تسمح بمقابلة عناصر من مجموعةٍ س بعناصر تنتمي إلى مجموعةٍ ع. وفي الحساب التفاضلي والتكاملي، يشار غالباً إلى الدالة بقاعدة بسيطة مثل:

د (س) = 2س3 + 5، أو ربما بقاعدة أكثر تعقيداً مثل:

في هذين المثالين لم تُذْكَر المجموعتان س، ع صراحة، إذ إنهما تُفتَرضان ضمناً أنهما مجموعة الأعداد الحقيقية ح. بيد أنه عندما يتقدم المرء في دراسته للرياضيات، فإنه يقابل دوال أعم، ويتوصل إلى ضرورة تقديم تعريف عام ودقيق للدالة.

تعريف: الدالة د شيء رياضي له ثلاث دعامات هي: مجموعتان س، ع، وقاعدة تسمح بمقابلة كل عنصرٍ س من س بعنصر وحيد ع من ع. تسمى س ساحة domain (أو منطلق set of departure، أو مجموعة تعريف set of definition) الدالة د، وتسمى ع مدى range (أو مستقر set of arrival، أو مجموعة قيم د set of value) الدالة د.

يُعَبّر عادة عن العنصر الوحيد ع المقابل للعنصر س بالشكل د (س)، ويسمى خيال image س وفق د.

للإشارة إلى الدالة د، التي ساحتها س ومداها ع، غالباً ما يُستعمل الرمز د: س ¬ ع [الذي يُقرأ: «د دالة من س إلى ع»، أو «د دالة من س في ع»]، ثم تُكتب قاعدة التقابل بين عناصر س، ع. وعلى سبيل المثال، فإن الرمز

يعني أن د هي دالة من ح +، مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، إلى ح، مجموعة الأعداد الحقيقية، بحيث يكون خيال كل عدد حقيقي موجب وفقها هو جذره التربيعي. [ويقال غالباً في هذه الحالة إن د دالة حقيقية real function (لأن مداها ح) لمتغير حقيقي real variable (لأن ساحتها مجموعة جزئية من ح)].

وفي الحالات التي تكون فيها المجموعتان س، ع واضحتين من السياق، يُكْتَفى لكتابة الدالة بإيراد قاعدتها (د (س) = …) من دون ذكرٍ للمجموعتين س، ع. ففي المثال السابق يقال أحياناً:

«لتكن لدينا الدالة »، أو «لتكن لدينا الدالة »، أو حتى «الدالة ».

تعريف: لتكن الدالة د: س0 ¬ ع، ولتكن س0 مجموعة جزئية من س0 نعرف مقصور restriction د على س (الذي يرمز إليه بـِ د | س0) بأنه الدالة:

د | س0: س0 ¬ ع، حيث د | س0 (س) = د (س) أياً كان س من س0.

وإذا كانت س* مجموعة تحوي تماماً س، فنعرف الممَّدد extension هـ للدالة د إلى س بأنه الدالة.

هـ: س* ¬ ع، حيث هـ (س) = د (س) أياً كان س من س0. من الواضح أن هـ دالة مقصورها على س هو الدالة د، وأن من الممكن إيجاد عدة ممدَّدات للدالة د.

مثال: لنأخذ الدالتين

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س2 + س + 1

ط: ح+ ¬ ح، حيث ط(س) = س2 + س + 1

من الواضح أن ط مقصور د على ح+، [لاحظ أن الدالتين د، ط مختلفتان على الرغم من تطابق قاعدتيهما، وذلك لأن ساحتيهما مختلفتان. واضح أيضاً أن د ممدد ط إلى ح. وبافتراض أن أ عدد حقيقي ما، فإن الدالة:

ك: ح ¬ ح، حيث ك(س)=

}

س2+س+1

عندما س <0

أ

عندما س ³ 0

هي ممدد أيضاً للدالة ط إلى ح. ولما كان من الممكن أن يأخذ العدد الحقيقي أ عدداً غير منته من القيم، فإن عدد الممددات التي أوردناها للدالة ط إلى ح غير منتهٍ.

تعريف:

لتكن الدالة  د: س ¬ ع، ولتكن س0 مجموعة جزئية من س. نسمي مجموعة أخيلة عناصر س0 وفق د، ويشار إليه بالرمز د (س0)، أي إن: د (س0) = {د (س): س ' س0}

وعندما تكون د(س0) مجموعة وحيدة العنصر في ع، يقال إن د دالة ثابتة constant.

وإذا كانت ع0 مجموعة جزئية من ع، فإنه يُرمز بـ د-1 (ع0) إلى مجموعة كل عناصر س التي أخيلتها وفق د تقع على ع.

تسمى المجموعة د-1 (ع0) الخيال العكسي، أو الصورة العكسيةinverse image أو counter image للمجموعة ع0 وفق د. وهكذا فإن:

د-1 (ع0) = }س ' س: د(س) ' ع0{

مثال: لتكن لدينا الدالة

إذا كانت س0 المجموعة الجزئية [2،¥[ من الساحة ح، فيمكن التحقق أن .

 يمكن التحقق أيضاً أن:

مثال: لتكن الدالة

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = 2س2 + 2

يمكن التحقق أن:

د -1 ([0،5]) = [-1،1]

لاحظ أن:

د -1 ([0،5])) = د ([-1،1]) = [2،5] ¹ [0،5].

تعريف: لتكن د: س ¬ ع، هـ: ع ¬ ص دالتين، نعرف المركَّب composite للدالتين د، هـ بأنه دالة نرمز إليها بالشكل:

هـ o د : س ¬ ص، بحيث يكون (هـ o د)(س) = هـ (د(س)).

لاحظ أن هذا التعريف يقتضي أن تكون ساحة هـ مساوية خيال الدالة س وفق د.

مثال: مركَّب الدالة

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س3 + 1، والدالة

هـ: ح ¬ ح، حيث هـ(س) = جب س

هو الدالة:

هـ: ح ¬ ح ،حيث (هـ o د)(س) = جب (س3 + 1)

تعريف: يقال عن دالة د: س ¬ ع إنها متباينة injective إذا كان الخيالان وفق د لكل زوج من النقاط المختلفة في س مختلفين. ويقال عن د إنها غامرة surjertive إذا كان كل عنصر من ع خيالاً وفق د لواحد، على الأقل، من عناصر س. وإذا كانت د متباينة وغامرة، فيقال عنها إنها دالة تقابلية bijective function أو تقابل bijection.

إن كون د دالة متباينة يعتمد على قاعدة د؛ وكونها غامرة يعتمد على مداها أيضاً. ويمكن التوثق من أن مركَّب دالتين متباينتين دالة متباينة، ومركَّب دالتين غامرتين دالة غامرة. يترتب على هذا أن مركَّب تقابلين تقابل.

إذا كانت د: س ¬ ع تقابلاً، فمن الممكن تعريف دالتها العكسية inverse function د-1: ع ¬ س كما يأتي: لكل عنصر ع من ع يمكن إيجاد عنصر وحيد س من س، بحيث يكون د (س) = ع (س موجود ووحيد لأن د غامرة ومتباينة)؛ وهذا العنصر هو خيال ع وفق د-1، أي أن د-1 (ع) = س. وهكذا فإن المعادلة س= د-1(ع) هي نتيجة حل المعادلة ع = د (س) للحصول على س. ومن الممكن التحقق أنه إذا كانت د تقابلاً، فإنَّ د-1 تقابل أيضاً.

مثال: الدالة د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س2 ليست متباينة ولا غامرة. مقصورها هـ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة دالة متباينة، لكنها ليست غامرة. والدالة ، الناتجة من تغيير مدى د، غامرة وليست متباينة. أما الدالة الناتجة من د بتغيير كل من ساحتها ومداها، فهي متباينة وغامرة، أي أنها تقابل، ومن ثم لها دالة عكسية هي:

تسمى د-1 هذه دالة الجذر التربيعي.

تُستعمل في التحليل الرياضي دوال حقيقية أعم من الدوال الحقيقية لمتغير واحد (التي تنتمي إليها كل الدوال التي أوردناها في الأمثلة السابقة). هذه الدوال هي الدوال الحقيقية لعدة متغيرات، أي الدوال الحقيقية التي ساحتها ح ن، حيث ن £2 ونعني بالرمز ح ن الجداء الديكارتي: ح × ح × ح × ....× ح الذي عدد مضاريبه ن . فمثلاً الدالة التالية:

د: ح2 ¬ ح،

هي دالة حقيقية لثلاثة متغيرات.

وثمة دوال أعم تُستعمل في التحليل الرياضي أيضاً هي الدوال المتجهية لعدة متغيرات

functions of several variables vector- valued، وهي دوال ساحتها ح ن ومداها ح ط،

حيث ن £ 2، ط £2. وكمثال على هذه الدوال نورد الدالة:

د: ح3 ¬ ح3،

بيد أنه سيُكتفى في هذا البحث بتقديمٍ سريعٍ وموجزٍ للأنماط المختلفة من الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي واحد.

أنواع الدوال

تقسم هذه الدوال عادة إلى قسمين: دوال ابتدائية، ودوال غير ابتدائية.

الدوال الابتدائية elementary functions

تقسم هذه الدوال إلى قسمين: دوال جبرية، ودوال متسامية.

أولاً: الدوال الجبرية algebraic functions، وهي تلك التي يرتبط فيها المتغير س بالدالة ع = د (س) بمعادلة جبرية من النمط:

حيث: أ0، أ1،...،أن أعداد حقيقية، نم، طم أعداد صحيحة غير سالبة، ك عدد صحيح موجب. وعلى سبيل المثال: فإن المعادلة:

3س2ع5 – 8س ع + س3 -1 =0

معادلة جبرية. وإذا كان من الممكن حل المعادلة (*) جبرياً بالنسبة إلى ع، فإن كلاً من حلولها يكون إحدى الدوال الجبرية التالية:

1ـ الدالة الصحيحة integral function:

ع (د) (س) = أ0 سن + أ1 سن-1 + ... + أن-1 س + أن

2ـ الدالة الكسرية fractional function:

شريطة أن تكون ساحة هذه الدالة المجموعة ح مطروحاً منها مجموعة قيم س التي تعدم المخرج.

3ـ دالة القوة power function:

ع = (د) س = س λ

حيث λ عدد حقيقي ثابت. فإذا كان λ عدداً صحيحاً، فإن هذه الدالة تصبح دالة صحيحة أو كسرية أو ثابتة. أما إذا كان λ كسراً، فإن الدالة تصبح دالة جذرية كالدالة:

ساحة هذه الدالة هي ح إذا كان ن عدداً صحيحاً فردياً، و

إذا كان ن زوجياً، وأخيراً إذا كان λ عدداً أصم irrational، فيفترض أن الساحة هي ح+

(أو  إذا كان λ >.).

ثانياً: الدوال المتسامية transcendental functions، وهي تلك التي لا يمكن أن يرتبط فيها المتغير س بالدالة ع (د (س)) بمعادلة جبرية من النمط (*) الذي ورد آنفاً. وأبسط أنماط هذه الدوال (الابتدائية المتسامية) هي:

1ـ الدالة الأسّيّة exponential fuction:

ع (د (س)) = بس

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.

2ـ الدالة اللغاريتمية logarithmic function:

ع (د (س)) = لعب س

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.هذا وإن ساحة هذه الدالة هي ح+.

3ـ الدوال المثلثاتية trigonometric functions:

ع = جب س، ع = تجب س، ع = ظل س، تظل س

ع = قا س، ع = تقا س

إن ساحة الدالتين جب، تجب هي ح، أما ساحة الدالتين ظل، قا فهي:

أما ساحة الدالتين تظل، تقا فهي:

ح – {ك p: ك عدد صحيح}

وإن الدوال العكسية لهذه الدوال، وهي الدوال التي يُشار إليها بالرموز

ع = قوس جب س، ع= قوس تجب س، ع = قوس ظل س

ع = قوس تظل س، ع= قوس قا س، ع = قوس تقا س

على الترتيب، هي دوال أولية أيضاً.

وتجدر الإشارة إلى أن المركَّب لعددٍ منتهٍ من الدوال الجبرية والمتسامية هو دالة أولية.

وعلى سبيل المثال، فإن الدالة لع جب س هي دالة أولية.

الدوال غير الابتدائية nonelementary functions

وهي الدوال المغايرة للدوال الابتدائية. ومن أهم هذه الدوال تلك التي يعبر عنها بعدة صيغ تحليلية، أو بمتسلسلات أو جداءات غير منتهية، أو بتكاملات مُعرّفة definite integrals تابعة لوسيط، أو بمعادلات تفاضلية لا يمكن التعبير عن حلولها بشكل ترابيع quadratures.

أمثلة على دوال غير أولية:

ـ دالة القيمة المطلقة لِـ س، وهي دالة ، حيث:

د (س) =

}

- س

عندما س ³ 0

س

عندما س £0

ويشار وعادة إلى هذه الدالة بالرمز د (س) = |س|

ـ دالة الإشارة signum function

ع = د (س) =

}

- 1

عندما يكون س > 0

0

عندما يكون س =0

+1

عندما يكون س < 0

ـ الدالة

ـ الدالة ع = د (س) التي تمثل حل المعادلة التفاضلية:

س2 عً + س عَ + (س2-1)ع = 0

ـ الدالة د (س) التي تمثل مجموع المتسلسلة (المتقاربة)

أمثلة

لنأخذ الدالة : $f\colon X\rightarrow Y,x\rightarrow x^{2}\!$

أي أن $f(x)=x^{2}\!$

بأخد $x=2$ نكتب $f(2)=4$ ، هنا بالتعرف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف $f\!$ . عندئذ نجد أن العنصر $x=2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر $y=4$ من المستقر فقط. العنصر $x=-2$ من المنطلق (أو المجال) $X\!$ يرتبط بالعنصر $y=4$ فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر $y=4$ من المستقر أن يرتبط بعنصرين $x=2$ و $x=-2$ من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .

بالمقابل

$\mathrm {Root} (x)=\pm {\sqrt {x}}$

ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل $x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد 9 قد يحتمل قيمتين هما 3 و -3. لهذا، إذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

$\mathrm {Posroot} (x)={\sqrt {x}},\quad \forall x\geq 0$ ،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

مجال الدالة

إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل س ( تسمى المجال أو النطاق أو المنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل ص (تسمى المجال المقابل أو المستقر أو النطاق المرافق)، هو اقتران من المجموعة س إلى المجموعة ص، والمقصود رياضيا بالاقتران هو (دالة أو تابع أو تطبيق أو مدى)، وللاقتران أو الدالة ثلاث مكونات: مجال(منطلق)، ومجال مقابل (مستقر)، وقاعدة تربط أي عنصر من عناصر المجال (منطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر المجال المقابل (المستقر). والمجموعة الجزئية من المجال المقابل التي تتكون من جميع صور عناصر المجال تسمى مجال الدالة أو (مدى الاقتران). أي أن مجال الدالة أو مدى الاقتران هو مجموعة جزئية من المجال المقابل للاقتران. فمثلا : ص = د(س) = 7س + 9.

وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (اقتران مركب)، والدالة التحليلية (اقتران تحليلي) ، والدالة الثابتة (اقتران ثابت)، والدالة المستمرة (اقتران متصل)، والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)، والدالة الضمنية (اقتران ضمني)، والدالة الأسية (اقتران أسي)، والدالة الزوجية (اقتران زوجي)، والدالة الصريحة (اقتران صريح)، والدالة المتطابقة (اقتران محايد)، والدالة الفردية (اقتران فردي)، والدالة العكسية (اقتران عكسي)، والدالة الشاملة (اقتران شامل).

تاريخ

تمت صياغة المصطلح "function" باللغة الإنكليزية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

أنظر أيضاَ

ملاحظات

المصادر

الموسوعة العربية
Anton, Howard (1980), Calculus with Analytical Geometry, Wiley, ISBN 978-0-471-03248-9
Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-05464-1
Husch, Lawrence S. (2001), Visual Calculus, University of Tennessee, http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/, retrieved on 2007-09-27
Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company .
Ponte, João Pedro (1992), "The history of the concept of function and some educational implications", The Mathematics Educator 3 (2): 3–8, http://www.math.tarleton.edu/Faculty/Brawner/550%20MAED/History%20of%20functions.pdf
Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9
Youschkevitch, A. P. (1976), "The concept of function up to the middle of the 19th century", Archive for History of Exact Sciences 16 (1): 37–85, doi:10.1007/BF00348305 .
Monna, A. F. (1972), "The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue", Archive for History of Exact Sciences 9 (1): 57–84, doi:10.1007/BF00348540 .
Kleiner, Israel (1989), "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey", The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 20 (4): 282–300, doi:10.2307/2686848 .
Ruthing, D. (1984), "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.", Mathematical Intelligencer 6 (4): 72–77 .
Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, Mathematical Association of America, ISBN 0883850818 .
Malik, M. A. (1980), "Historical and pedagogical aspects of the definition of function", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 11 (4): 489–492, doi:10.1080/0020739800110404 .
Boole, George (1854), An Investigation into the Laws of Thought on which are founded the Laws of Thought and Probabilities, Walton and Marberly, London UK; Macmillian and Company, Cambridge UK. Republished as a googlebook.
Eves, Howard. (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics: Third Edition, Dover Publications, Inc. Mineola, NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk)
Frege, Gottlob. (1879), Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle
Grattan-Guinness, Ivor and Bornet, Gérard (1997), George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-7643-5456-9 (Berlin...)
Halmos, Paul R. (1970) Naive Set Theory, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90092-6.
Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press (published 1993), ISBN 978-0-521-09227-2
Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 0-486-24004-5.
Russell, Bertrand (1903) The Principles of Mathematics: Vol. 1, Cambridge at the University Press, Cambridge, UK, republished as a googlebook.
Russell, Bertrand (1920) Introduction to Mathematical Philosophy (second edition), Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 0-486-27724-0 (pbk).
Suppes, Patrick (1960) Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN 0-486-61630-4. cf his Chapter 1 Introduction.
Tarski, Alfred (1946) Introduction to Logic and to the Methodolgy of Deductive Sciences, republished 1195 by Dover Publications, Inc., New York, NY ISBN 0-486-28462-x
Venn, John (1881) Symbolic Logic, Macmillian and Co., London UK. Republished as a googlebook.
van Heijenoort, Jean (1967, 3rd printing 1976), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk)
- Gottlob Frege (1879) Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought with commentary by van Heijenoort, pages 1–82
- Giuseppe Peano (1889) The principles of arithmetic, presented by a new method with commentary by van Heijenoort, pages 83–97
- Bertrand Russell (1902) Letter to Frege with commentary by van Heijenoort, pages 124–125. Wherein Russell announces his discovery of a "paradox" in Frege's work.
- Gottlob Frege (1902) Letter to Russell with commentary by van Heijenoort, pages 126–128.
- David Hilbert (1904) On the foundations of logic and arithmetic, with commentary by van Heijenoort, pages 129–138.
- Jules Richard (1905) The principles of mathematics and the problem of sets, with commentary by van Heijenoort, pages 142–144. The Richard paradox.
- Bertrand Russell (1908a) Mathematical logic as based on the theory of types, with commentary by Willard Quine, pages 150–182.
- Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering, with commentary by van Heijenoort, pages 183–198. Wherein Zermelo rails against Poincaré's (and therefore Russell's) notion of impredicative definition.
- Ernst Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I, with commentary by van Heijenoort, pages 199–215. Wherein Zermelo attempts to solve Russell's paradox by structuring his axioms to restrict the universal domain B (from which objects and sets are pulled by definite properties) so that it itself cannot be a set, i.e., his axioms disallow a universal set.
- Norbert Wiener (1914) A simplification of the logic of relations, with commentary by van Heijenoort, pages 224–227
- Thoralf Skolem (1922) Some remarks on axiomatized set theory, with commentary by van Heijenoort, pages 290–301. Wherein Skolem defines Zermelo's vague "definite property".
- Moses Schönfinkel (1924) On the building blocks of mathematical logic, with commentary by Willard Quine, pages 355–366. The start of combinatory logic.
- John von Neumann (1925) An axiomatization of set theory, with commentary by van Heijenoort , pages 393–413. Wherein von Neumann creates "classes" as distinct from "sets" (the "classes" are Zermelo's "definite properties"), and now there is a universal set, etc.
- David Hilbert (1927) The foundations of mathematics by van Heijenoort, with commentary, pages 464–479.
Whitehead, Alfred North and Russell, Bertrand (1913, 1962 edition), Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, London UK, no ISBN or US card catalog number.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

وصلات خارجية

The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
Functions from cut-the-knot.
Function at ProvenMath.
Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool.
FunctionGame, an educational interactive function guessing game.