قنينة كلاين

في الطبولوجيا، إحدى أفرع الرياضيات، قنينة كلاين Klein bottle /ˈklaɪn/، هي مثال على سطح غير قابل للتوجيه، حيث أنه لا يمكن التمييز بين داخل وخارج السطح. وكان أول وصف قنية كلاين عام 1882 هو عالم الرياضيات الألماني فيلكس كلاين. الاسم العلمي والأكثر دقة لقنينة كلاين هو Fläche Kleinsche "سطح كلاين" ولكن الترجمة الخاطئة أدت في نهاية المطاف إلى اعتماد هذا المصطلح في اللغة الألمانية كذلك.، وهي عبارة عن سطح له وجه واحد (وليس وجهان (داخلي وخارجي) وليس له حدود (مثل الكرة).

تمثيل ثنائي الأبعاد مغمور في فضاء ثلاثي الأبعاد.

رسم ثلاثي الأبعاد لقنينة كلاين.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 البناء

سطح كلاين سطح طوبولوجي لا يمكن انشائه في فضاء ثلاثي الابعاد ، ولكن يمكن تكوين نموذج تقريبي له يشبه القارورة أو الزجاجة و هو يعتبر مسقط لسطح كلاين في فضاء ثلاثي الأبعاد.

و لصناعة هذا النموذج يجب استخدام صفيحة مربعة الشكل يتم طيها أولا لتشكيل أسطوانة ثم يتم إدخال أحد أطراف هذه الأسطوانة في جدار الطرف الآخر ثم إلصاق الطرفين معاً.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Immersed Klein bottles in the Science Museum in London

A hand-blown Klein Bottle

Time evolution of a Klein figure in xyzt-space

يستلزم وجود سطح كلاين فضاء رباعي الأبعاد مما يسبب بعض المشاكل عند تمثيله في فضاء ثلاثي الأبعاد فأحدى هذه المشاكل هي تقاطع النموذج ثلاثي الأبعاد مع نفسه مما يعني أن أضرابا ما قد حدث للسطح،

ولكن رغم ذلك يمكن لهذا النموذج وصف بعض خصائص سطح كلاين و هي

• تشكيل (سطح أحادي الوجه)
• إظهار قدرة هذا السطح على أبقاء الفراغ بداخله متصلا مع الفراغ بخارجه
• إظهار سطح لا يحوي أي حدود على عكس شريط موبيوس، مثال _ الكرة : سطح لا يحوي أي حدود

 المقطع

Dissecting the Klein bottle results in Möbius strips.

من أهم ميزات نموذج سطح كلاين في الفضاء ثلاثي الابعاد أن مقطعه يعطى على شكل شريط موبيوس و هو أحد الأشكال الطبولوجية أحادية الوجه (غير قابلة للتوجيه) وهذا سيعني إمكانية صناعة نموذج عن سطح كلاين عند ضم شريطي موربيوس و استخدام شريط آخر ثنائي الوجه (عادي) لأخفاء الحواف.

 تغيير قيم المتغيرات

"شكل 8"، غمر قنينة كلاين.

Klein bagel cross section employing a figure eight curve (the lemniscate of Gerono).

 شكل 8 الغمر

${\begin{aligned}x&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\cos \theta \\y&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\sin \theta \\z&=\sin {\frac {\theta }{2}}\sin v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\end{aligned}}$

for 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π and r > 2.

 البعد-4 الغير متقاطع

$\ {\begin{aligned}x&=R\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\z&=P\cos \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\end{aligned}}$

 الطارة المفعوصة ثلاثية الأبعاد - أنبوب موبيوس رباعي الأبعاد

غمر النتوء المضغوط في قنينة كلاين.

$x(\theta ,\varphi )=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }$

$y(\theta ,\varphi )=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }$

$z(\theta ,\varphi )=r\sin \theta \cos({\varphi /2})$

$w(\theta ,\varphi )=r\sin \theta \sin({\varphi /2})$

 شكل القنينة

شكل القنية بشفافية طفيفة.

${\begin{aligned}x(u,v)&=-{\frac {2}{15}}\cos u(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\\&\quad -60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u})\\y(u,v)&=-{\frac {1}{15}}\sin u(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\\&\quad \cos {v}-60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-80\\&\quad \cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u})\\z(u,v)&={\frac {2}{15}}(3+5\cos {u}\sin {u})\sin {v}\end{aligned}}$

for 0 ≤ u < π and 0 ≤ v < 2π.

 انظر أيضاً

• طبولوجيا جبرية
• عالم أليس
• Bavard's Klein bottle systolic inequality
• سطح بوي

 المصادر

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المراجع

• قالب:PlanetMath attribution
• Eric W. Weisstein, Klein Bottle at MathWorld.
• A classical on the theory of Klein surfaces is Alling, Norman; Greenleaf, Newcomb (1969). "Klein surfaces and real algebraic function fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 75 (4): 627–888. doi:10.1090/S0002-9904-1969-12332-3. MR 0251213. قالب:Euclid.

 وصلات خارجية

• Imaging Maths - The Klein Bottle
• The biggest Klein bottle in all the world
• Klein Bottle animation: produced for a topology seminar at the Leibniz University Hannover.
• Klein Bottle animation from 2010 including a car ride through the bottle and the original description by Felix Klein: produced at the Free University Berlin.
• Klein Bottle, XScreenSaver "hack". A screensaver for X 11 and OS X featuring an animated Klein Bottle.