صيغة هيرون

في الهندسة تستخدم صيغة هيرون بالإنگليزية: Heron's formula، المسماة على اسم هيرون السكندري،[1] تعطي مساحة المثلث عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة. بخلاف معادلات مساحة المثلث الأخرى، ولا حاجة لحساب الزوايا أو الأبعاد الأخرى في المثلث أولاً.

مثلث ذو أضلاع a، b وc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الصياغة

تنص صيغة هيرون على أن مساحة مثلث أضلاعه لها أطوال a، b، وc تساوي

 

حيث s هي نصف محيط المثلث؛ إنه،[2]

 

يمكن أيضاً كتابة صيغة هيرون بصيغة

 
 
 
 
 


مثال

لنفترض أن ABC هو المثلث ذو الأضلاع a = 4، b = 13 وc = 15. مقياس نصف قطر هذا المثلث هو

 

وتكون المساحة

 

في هذا المثال، أطوال الأضلاع والمساحة هي أعداد صحيحة، مما يجعلها مثلث هيرونيان. ومع ذلك، فإن صيغة هيرون تعمل بشكل جيد في الحالات التي يكون فيها واحد أو أكثر من أطوال الأضلاع غير صحيحة.

التاريخ

تُنسب الصيغة إلى هيرون السكندري أو هيرو،[3] ويمكن العثور على دليل في كتابه ميتركا، الذي كتبه حوالي 60 ميلادياً. لقد قيل أن أرخميدس عرف الصيغة قبل قرنين من الزمان،[4]وبما أن ميتركا عبارة عن مجموعة من المعارف الرياضية المتوفرة في العالم القديم، فمن الممكن أن تسبق الصيغة المرجع الوارد في هذا العمل.[5]

صيغة تعادل هيرون، وهي،

 

اكتشفها الصينيون. تم نشرها في رسالة رياضية في تسعة أقسام (چين جيوشاو، 1247).[6]

براهين

توجد طرق عديدة لإثبات صيغة هيرون، على سبيل المثال باستخدام علم المثلثات على النحو التالي، أو الدائرة الداخلية والخارجية للمثلث،[7] أو كحالة خاصة من مبرهنة دي گوا (لحالة معينة من المثلثات الحادة).[8]

البرهان المثلثي باستخدام قانون جيب التمام

يلي ذلك برهان حديث يستخدم الجبر ويختلف تماماً عن الذي قدمه هيرون.[9] لنفترض أن a, b, c هي أضلاع المثلث α, β, γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع. بتطبيق قانون جيب التمام نحصل على

 

من هذا البرهان، نحصل على التعبير الجبري

 

طول ارتفاع المثلث على القاعدة a b sin γ، ويتبع

 

استُخدم عامل فرق مربعين في خطوتين مختلفتين.

برهان جبري باستخدام مبرهنة فيثاغورس

 
مثلث بارتفاع h يقسم القاعدة c إلى d + (cd)

البرهان التالي مشابه جداً للإثبات الذي قدمه ريفيزن.[10] وفقاً لمبرهنة فيثاغورس لدينا b2  = h2  + d2  وa2  = h2  + (cd)2  حسب الشكل على اليمين. طرح هذه النواتج a2 b2  = c2  − 2cd. تسمح لنا هذه المعادلة بالتعبير عن d بدلالة أضلاع المثلث:

 

لدينا هذا بالنسبة لارتفاع المثلث h2  = b2 d2 . باستبدال d مع الصيغة المذكورة أعلاه وتطبيق مطابقة فرق المربعات التي نحصل عليها

 

نطبق هذه النتيجة الآن على الصيغة التي تحسب مساحة المثلث من ارتفاعه:

 

البرهان المثلثي باستخدام قانون ظل التمام

 
الأهمية الهندسية لـ sa، sb وsc. راجع قانون ظل التمام لمعرفة السبب وراء ذلك.

من الجزء الأول من إثبات قانون ظل التمام،[11] لدينا أن مساحة المثلث كلاهما

 

و A = rs, ولكن، لأن مجموع أنصاف الزوايا هو π/2, تنطبق مطابقة ظل التمام الثلاثي، لذا فإن أولهما هو

 

بالجمع بين الاثنين، نحصل على

 

من التي تليها النتيجة

الاستقرار العددي

صيغة هيرون كما هي مذكورة أعلاه هي غير مستقر عددياً للمثلثات ذات الزاوية الصغيرة جداً عند استخدام الفاصلة العائمة الحسابية. يتضمن البديل المستقر[12][13] ترتيب أطوال الأضلاع بحيث abc وحساب

 

الأقواس في الصيغة أعلاه مطلوبة من أجل منع عدم الاستقرار العددي في التقييم.

صيغ مساحة أخرى تشبه صيغة هيرون

هناك ثلاث صيغ مساحة أخرى لها نفس بنية صيغة هيرون ولكن يتم التعبير عنها من حيث المتغيرات المختلفة. أولاً، الإشارة إلى المتوسطات من الضلعين a، b وc على التوالي كـ ma, mb, وmc وشبه محصلتها 1/2(ma + mb + mc) كـ σ,[14]

 

بعد ذلك، الإشارة إلى الارتفاعات من الأضلاع a, b, وc على التوالي ha, hb وhc, والدلالة على نصف مجموع من ارتفاعات مثل H = 1/2(h−1a + h−1b + h−1c) نحصل على[15]

 

أخيراً، الإشارة إلى نصف مجموع جيوب الزوايا كـ S = 1/2(sin α + sin β + sin γ), نحصل على[16]

 

حيث D هو قطر الدائرة: D = a/sin α = b/sin β = c/sin γ.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تعميمات

 
رباعي دائري

صيغة هيرون هي حالة خاصة من صيغة براهماگوپتا لمساحة رباعي دائري. صيغة هيرون وصيغة براهماگوپتا كلاهما حالتان خاصتان من صيغة بريتشنايدر لمساحة رباعي الأضلاع. يمكن الحصول على صيغة هيرون من صيغة براهماگوپتا أو صيغة بريتشنايدر عن طريق ضبط أحد أضلاع الشكل الرباعي على الصفر. تعطي صيغة براهماگوپتا المساحة K من الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه a, b, c, d كـ

 

حيث s، يتم تعريف نصف المحيط على أنه

 

صيغة هيرون هي أيضاً حالة خاصة من صيغة مساحة شبه منحرف أو شبه منحرف تعتمد فقط على أضلاعها. يتم الحصول على صيغة هيرون بجعل الضلع الموازي الأصغر يساوي صفراً.

التعبير عن صيغة هيرون بمحدد كايلي-مينجر بدلالة مربعات المسافة بين الرؤوس الثلاثة المعطاة،

 

يوضح تشابهها مع صيغة تارتاگليا من أجل حجم من ثلاثي بسيط.

اكتُشف تعميم آخر لصيغة هيرون على الأشكال الخماسية والسداسية المحاطة في دائرة بواسطة ديڤد روبنز.[17]

صيغة هيرون لحجم رباعي الأسطح

إذا كانت U, V, W, u, v, w هي أطوال أضلاع رباعي السطوح (الثلاثة الأولى تشكل مثلثاً؛ u المقابل لـ U وهكذا)، إذن[18]

 

where

 

هناك وسط يسمى بالوسط الهيروني وهو يساوي 1/3 ( أ + (الجذر التربيعي لـ أ*ب ) + ب)

انظر أيضاً

المراجع

  1. ^ "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" (in الإسبانية). Spain: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. 2004. Retrieved 30 June 2012.
  2. ^ Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?". The American Mathematical Monthly. 107 (5): 402–415. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR 2695295. MR 1763392. S2CID 1214184.
  3. ^ Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). "A medieval proof of Heron's formula". The Mathematics Teacher. 62 (7): 585–587. doi:10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR 27958225. MR 0256819.
  4. ^ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. II. Oxford University Press. pp. 321–323.
  5. ^ Eric W. Weisstein, Heron's Formula at MathWorld.
  6. ^ 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本).
  7. ^ "Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle". 15 December 1997. Retrieved 25 September 2020.
  8. ^ Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula". The Mathematical Intelligencer (in الإنجليزية). 43 (2): 37–39. doi:10.1007/s00283-020-09996-8. ISSN 0343-6993.
  9. ^ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. pp. 7–8.
  10. ^ Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44 (1): 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093.
  11. ^ The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.
  12. ^ Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3.
  13. ^ William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).
  14. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
  15. ^ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  16. ^ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  17. ^ D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
  18. ^ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16–17.

وصلات خارجية

الكلمات الدالة: