نظام عد

نظام العد numeral system، هو طريقة عرض الأعداد برسوم محددة والتعامل معها للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها.وتستخدم أنظمة عد مختلفة لعرض الأعداد. فمثلاً العددين 16(2A) و 8(52) يعنيان نفس القيمة 10(42) ولكن بطريقة عرض مختلفة. طريقة عرض الأعداد بأنظمة مختلفة هو نفس طريقة عرض الكلمات في اللغات المختلفة فمثلاً الكلمة cheval (كلمة فرنسية) والكلمة equus (كلمة لاتينية) والكلمة horse (كلمة إنجليزية) لهم نفس المعنى "حصان".

أنظمة الأرقام حسب الثقافة
الأرقام الهندية العربية
العربية المغربية
العربية المشرقية
الخمير
العائلة الهندية
البراهمية
التايلندية
أرقام شرق آسيا
الصينية
سوژو
عصي العد
اليابانية
الكورية 
الأرقام الأبجدية
أبجد
الأرمنية
السيريلية
جعيز
العبرية
اليونانية (Ionian)
أريابهاتا
 
أنظمة أخرى
Attic
البابلية
المصرية
الإتروسكية
المايا
الرومانية
Urnfield
قائمة مواضيع نظم الأرقام
Positional systems by base
عشري (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, more…

مثلما نستخدم الرسوم (الحروف) لإنشاء الكلمات في اللغة، كذلك نستخدم الرسوم (الأرقام) لعرض الأعداد. وكما نعلم فإن عدد الحروف في أي لغة محدد لذا نعيد تكرارها لإنشاء كلمات جديدة ومتعددة. نفس الشي مع الأرقام فعددها محدود (على سبيل المثال، في النظام العشري هناك 10 أرقام فقط ، وفي الثنائي عددين فقط) مما يحتم علينا تكرارها لإنشاء الأعداد. تعرف أنظمة العد التي تستخدم هذه الطريقة بالأنظمة الموضعية وتمثل نتاج التطور البشري على مدى العصور المختلفة، هذا النوع من الأنظمة العددية يستخدم موضع (مكان) الرقم (الرمز أو الرسم) لتحديد " قيمة " الرمز في العدد، حيث تستخدم الدالة التالية لتوضيح طريقة عرض أي عدد بأستخدام رموز النظام العددي الموضعي :

n = ± Sk-1 × bk-1 + Sk-2 × bk-2 +...+ S1 × b1 + S0 × b0 + S-1 × b-1 + S-2 × b-2 + ... + S-L × b-L

حيث أن الرمز (n) يمثل عدد ما. والرمز (±) يمثل إشارة العدد (n) (سالبة أو موجبة). والرمز (S) يمثل " أحد " رموز النظام العددي . والرمز (b) يشير لأساس النظام العددي (عشري أو ثنائي أو ...)،بينما يشيران (k) أسفل الرمز (S)، و(L) أس الرمز (b) إلى الترتيب المكاني للرمز.

يجب الإشارة هنا لمجموعة من الملاحظات على الدالة السابقة نسردها فيما يلي :

إذا أفترضنا أن العدد (1234.5678)10 هو عدد من النظام العشري (وهو أكثر الأنظمة تداولاً في واقعنا) نجد أنه يملك خصائص الدالة السابقة ونتطرق لها فيما يلي :

1- الرمز (b) يعتبر عدداً هاماً لتحديد نوع النظام العددي حيث أن كل نظام يملك أساس (Base أو radix ) خاص به وهذا العدد يساوي عدد الرموز المستخدمة في نظام محدد. في مثالاً العددي قيمة (b) هي " 10 " لأن عدد الرموز المستخدمة في النظام العشري عددها عشرة رموز (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).

2- القيمة الموضعية للرمز (S) أو (b) أما أن تكون سالبة أو موجبة حيث أن القيمة الموجبة(k) هي إشارة إلى أن الرمز ينتمي إلى عدد صحيح، والقيمة السالبة (L) إشارة إلى أن الرمز ينتمي إلى عدد كسري. لذا فإن الرمز ذو القيمة الموجبة يكون يمين الفاصلة (. أو ,) والرمز ذو القيمة السالبة يكون يسار الفاصلة.

3- لتمييز العدد الصحيح من العدد الكسري في الحياة اليومية فإنه يفصل بينهما بفاصلة (. أو ,) لتسهيل عملية قراءة العدد.

4- من الدالة السابقة نلاحظ أن القيمة الموضعية لأول رمز من اليمين في "الجزء الصحيح " من العدد(في المثال الرمز 4) هي صفر، بينما القيمة الموضعية لآخر رمز من " الجزء الصحيح" من العدد (في المثال الرمز 1) هي (k-1)حيث k هو عدد المواضع التي كتب عليها الجزء الصحيح من العدد(عدد المواضع للجزء الصحيح في المثال (4) مواضع).

5- من الدالة السابقة نلاحظ أن القيمة الموضعية لأول رمز من اليسار في " الجزء الكسري " من العدد (في المثال الرمز 5) هي (-1)، بينما القيمة الموضعية للآخر رمز من " الجزء الكسري " من العدد (في المثال الرمز 8) هي (L-) حيث L هو عدد المواضع التي كتب عليها الجزء الكسري من العدد(عدد المواضع للجزء الكسري في المثال (4) مواضع).


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التاريخ

كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الأشكال، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس فيها استخدام للخانات أو الصفر، أنظر الأعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول إلى تقييم الأرقام تبعاً لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة استحالت على غيرهم.

ولكن الهنود لم يعرفوا الصفر في بداية نظامهم، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلاً، وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة أو نقطة وأطلقوا عليه اسم الفراغ أو الثقب ورسموه على شكل دائرة أو نقطة. ويبدو أن العرب هم من أعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من أن الهنود كانوا قد استخدموه كشكل للتمييز، وأبقى العرب على رسمه الهندي، وأوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فقال: "في عمليات الطرح، إذا لم يكن هناك باق، نضع صفراً ولا نترك المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف "إن الصفر يجب ان يكون عن يمين الرقم، لأن الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ أن الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي قد نقلو هذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين إلى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها كالألمان مثلا.

ومن الأنظمة التي استخدمت أيضا انظمة تعتمد على تقسيم الأعداد إلى منازل من ستين وأخرى من 12، ومن الموروث الحضاري لهذه الأنظمة نظام الوقت، الدقائق والساعات المستخدم.

ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و> تعبيرا عن الواحد والعشرة، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب كل مجموعة إلى بستين مرفوعة لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر، تماماً كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات بالمجموعات.


أنظمة العد الرئيسية

النظام العشري

النظام الأوسع انتشاراً هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلاً الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية، وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبياً عن ابتداع الأرقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلو هذه الخانة من القيمة.

النظام الثنائي

النظام الثنائي هو نظام يستخدم بشكل واسع في الحاسوب، حيث يشكل حجر الأساس لتصميم عمل الحواسب الحالية، وهو مرتبط بالمنطق بشكل كبير والترانزيستور والبوابات الالكترونية هي تطبيقات عملية على نظام العد الثنائي والمنطق.

نظام التشفير الثنائي العشري

هو نظام يتم فيه تمثيل الرقم العشري باستخدام النظام الثنائي ليتمكن الحاسوب من التعامل معها. وفيه يتم تمثيل كل خانة عشرية بأربعة خانات ثنائية للحصول على الرقم بنظام البي.سي.دي.

يمكن لأربع خانات بالنظام الثنائي تمثيل الأرقام العشرية من ٠ إلى ١5 ولكن بما أن الخانة العشرية يمكنها تمثيل من ٠ إلى ٩ فقط فتبقى ستة احتمالات غير مستخدمة لكل أربع خانات في نظام البي.سي.دي.

النظام الأوسع انتشارا هو النظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقم 6 يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية، وقد تم ابتداع الصفر في مرحلة متأخرة نسبيا عن ابتداع الأرقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلو هذه الخانة من القيمة.

النظم الموضعية المفصلة

الموضع 3 2 1 0 −1 −2 . . .
Weight              
Digit              
Decimal example weight 1000 100 10 1 0.1 0.01 . . .
Decimal example digit 4 3 2 7 0 0 . . .

الأعداد من 0 إلى 20 بأنظمة عد مختلفة

النظام العشري النظام الثنائي البي.سي.دي النظام الثماني النظام السداسي عشري
0 0 0 0 0
1 1 0001 1 1
2 10 0010 2 2
3 11 0011 3 3
4 100 0100 4 4
5 101 0101 5 5
6 110 0110 6 6
7 111 0111 7 7
8 1000 1000 10 8
9 1001 1001 11 9
10 1010 0001 0000 12 A
11 1011 0001 0001 13 B
12 1100 0001 0010 14 C
13 1101 0001 0011 15 D
14 1110 0001 0100 16 E
15 1111 0001 0101 17 F
16 10000 0001 0110 20 10
17 10001 0001 0111 21 11
18 10010 0001 1000 22 12
19 10011 0001 1001 23 13
20 10100 0010 0000 24 14


انظر أيضاً

المصادر


المراجع

  • Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3.
  • D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, "Positional Number Systems".
  • A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
  • J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
  • Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. ISBN 978-0-226-58659-5.
  • Schmandt-Besserat, Denis (1996). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN 978-0-292-77704-0.
  • Zaslavsky, Claudia (1999). Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

وصلات خارجية

الكلمات الدالة: