تحليل حقيقي

(تم التحويل من Real analysis)

التحليل الحقيقي Real analysis هو أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية و الدوال المعرفة عليها . يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من علم الحسبان (التفاضل و التكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات و نهاياتها ، الاستمرار في الدوال ، الاشتقاق الرياضي ، التكاملات الرياضية و اخيرا متتاليات الدوال . بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' ، كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال المعممة generalized function .

The first four partial sums of the Fourier series for a square wave. Fourier series are an important tool in real analysis.

عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة naive set theory أو elementary set theory ، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية ، ثم مقدمة للأعداد الطبيعية و تقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction .

من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متتاليات كاوشي Cauchy sequence و حد ديديكايند Dedekind cut للأعداد المنطقة rational number . النتائج البدئية تشتق أولا ، اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value ، مثل متراجحة المثلث triangle inequality و متراجحة برنولي Bernoulli's inequality .


مصطلح التقارب convergence يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي ، فهو يقدم من خلال نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء ، و بالتالي يمكن حساب عدة نهايات . كما يدرس هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series و هي عبارة عن نوع خاص م المتتاليات . من ثم تقدم متسلسلات القوى Power series القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل الدالة الأسية exponential function و الدوال المثلثية trigonometric function . من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل المجموعات المفتوحة open set و المجموعات المغلقة closed set ، المجموعات المضغوطة compact sets أو compact space مع خواصها المختلفة مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem و مبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem .

من أهم أقسام التحليل الحقيقي :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

نتائج هامة

Important results include the Bolzano–Weierstrass and Heine–Borel theorems, the intermediate value theorem and mean value theorem, Taylor's theorem, the fundamental theorem of calculus, the Arzelà-Ascoli theorem, the Stone-Weierstrass theorem, Fatou's lemma, and the monotone convergence and dominated convergence theorems.


اقرأ أيضا

الهامش

ببليوگرافيا

  • Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
  • Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (3rd ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.
  • Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
  • Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
  • Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
  • Carothers, Neal L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
  • Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
  • Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Retrieved 2 April 2013.
  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
  • Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
  • Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

وصلات خارجية

قالب:Analysis-footer

الكلمات الدالة: