قانون الغازات المثالية

قانون الغازات المثالية ideal gas law، يسمى أيضاً قانون الغازات العامة general gas equation، هو معادلة حالة لغاز مثالي افتراضي. وهو تقدير جيد لسلوك العديد من الغازات تحت ظروف متعددة، على الرغم من أوجه قصوره المختلفة. أعلن عنه لأول مرة إميل كلاپيرون عام 1834 كمزيج بين قوانين بويل، تشارلز، أڤوگادرو، وگي-لوساك التجريبية.

تساوي درجة حرارة غاز مثالي. الخطوط المنحنية تمثل العلاقة بين الضغط (على المحور الرأسي) والحجم (على المحور الرأسي) لغاز مثالي عند درجات حرارة مختلفة: الخطوط الأبعد عن الأصل (أي، الخطوط الأقرب للركن الأيمن العلوي من المخطط) تمثل درجات الحرارة الأعلى.

المتغيرات التي منها تعرف كمية الغاز وحالته هي الضغط، الحجم والحرارة طبقا للقانون التالي: ح ض = ر ن د

$\ pV=nRT$

حيث:

• ض أو p: ضغط الغاز
• ح أو V: حجم الغاز
• ن أو n: عدد المولات في الغاز
• ر أو R: ثابت الغازات العام
• د أو T: درجة الحرارة المطلقة.

حيث أن قانون الغازات المثالية يتجاهل كلا من الحجم الجزيئي والتفاعلات بين الجزيئات وبعضها، يعد قانون الغازات المثالية أكثر دقة مع الغازات أحادي الذرة في الضغوط المنخفضة ودرجات الحرارة العالية. يكون تجاهل الحجم الجزيئي أقل أهمية كلما ازداد الحجم، أي عند الضغوط المنخفضة. الأهمية النسبية للتفاعلات الجزيئية تضعف بزيادة الطاقة الحرارية أي بزيادة الحرارة.

• الغازات أحادية الذرة مثل الهليوم والكريبتون وغيرها هي كلها من الغازات الخاملة حيث لا ترتبط الذرات مع بعضها البعض مكونة جزيئات وإنما تبقى كل ذرة بمفردها. هذا بالمقارنة بغاز ثنائي مثل الأكسجين والنيتروجين والكلور كلجزيئ منها مكون من ذرتين. ومثال على جزيئ ثلاثي الذرات : ثاني أكسيد الكربون وجزيئه يتكون من 1 ذرة كربون و 2 ذرة أكسجين. وتعتبر الجزيئات الأحادية الذرات أبسط أنواع الغازات في الدراسة وتسمي لذلك غاز مثالي. الغازات الثنائية والثلاثية الذرات والجزيئات الأعقد من ذلك يحدث فيها اهتزاز الذرات وكذلك يمكنها "الدوران" حول محور أو أكثر ، مما يصعب دراستها.

وضعت معادلات أكثر تعقيدا مثلا معادلة فان دير فالس والتي تسمح بادخال الحجم الجزيئي والتفاعلات بين الجزيئات في الاعتبار.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المعادلة

التصادمات الجزيئية داخل الحاوية المغلقة (خزان الپروپان) موضحة على (اليمين). تمثل الصفوف الحركات والتصادمات العشوائية لهذه الجزيئات. يكون ضغط ودرجة حرارة الغاز متناسبان بشكل مباشر: كلما زادت درجة الحرارة، يزداد ضغط الپروپان بنفس العامل. من النتائج البسيطة لهذه التناسبية أنه في يوم صيفي حار، سيرتفع الضغط داخل خزان الپروپان، وبالتالي يجب تصنيف صهاريج الپروپان لتحمل مثل هذه الزيادات في الضغط.

تصف المعادلة العامة حالة غاز مثالي من حيث دوال الحالة : الضغط p والحجمV ودرجة الحرارةT وكمية الغاز n وعدد جزيات الغاز N ، وبالتالي كتلة الغاز m. ويمكن كتابة المعادلة في صياغات مختلفة، ولكنها جميعا متساوية ، وكل منها يصف حالة النظام بدقة كاملة.

صياغات المعادلة:

$p\cdot V=n\cdot R_{m}\cdot T$

$p\cdot V={\frac {m}{M}}\cdot R_{m}\cdot T$

$p\cdot V=N\cdot k_{\mathrm {B} }\cdot T$

$p\cdot V=m\cdot R_{s}\cdot T$

صياغات أخرى:

$p\cdot v_{m}=R_{m}\cdot T$

$p\cdot v=R_{s}\cdot T$

$p=\rho \cdot R_{s}\cdot T\qquad {\text{consequently}}\qquad {\frac {p}{\rho \cdot T}}=R_{s}$

في تلك المعادلات تعني الرموز الآتية ما يلي:

• k_B - ثابت بولتزمان
• R_m - ثابت الغازات العام (أو ثابت الغازات المولي)
• R_s - ثابت الغاز النوعي
• ρ - الكثافة
• v_m - الحجم المولي
• v - الحجم النوعي
• N - عدد الجزيئات
• n - عدد المولات
• m - الكتلة
• M - كتلة مولية

تمثل المعادلة العامة للغاز المثالي معادلة الحالة الترموديناميكية عندما تكون الكثافة صغيرة $\rho \rightarrow 0$ dar, أي عندما يكون الضغط صغيرا جدا ودرجة الحرارة عالية. في تلك الحالة يمكن إهمال حجم الجزيئات نفسها وقوى التجاذب بينها.

وتمثل معادلة الغاز المثالي تمثيلا تقريبيا لغازات كثيرة مثل الهواء المشبع ببخار الماء في الظروف الطبيعية (1 ضغط الجوي ،و درجة حرارة 20 مئوية) ، فهي تصف حالته بدقة تقريبية مناسبة. وينتج من المعادلة العامة للغاز المثالي أن الطاقة الداخلية للغاز المثالي لا تعتمد على الضغط أو الحجم ، وتعتمد فقط على درجة الحرارة. وتتكون الطاقة الداخلية في هذه الحالة من طاقة الحركة والحركة الحرارية لجزيئات الغاز.

في عام 1873 أضاف الفيزيائي فان ديرفال المعادلة المعروفة باسمه معادلة فان دير فال الحجم الذاتي لجزيئات الغاز وقوي التجاذب على المعادلة العامة وأصبحت معادلته بذلك تنطبق أيضا على الغازات الحقيقية.

ولا ينطبق تأثير جول-تومسون على الغاز المثالي.

 الطاقة المرتبطة بالغاز

طاقةالغاز	الصيغة الرياضية
الطاقة المرتبطة بمول واحد من الغاز	$E={\frac {3}{2}}RT$
الطاقة المرتبطة بگرام واحد من الغاز	$E={\frac {3}{2}}rT$
الطاقة المرتبطة بجزيء واحد من الغاز	$E={\frac {3}{2}}k_{B}T$

 التطبيقات على العمليات الديناميكية الحرارية

العملية	الثابت	النسبة المعروفة أو دلتا	P2	V2	T2
عملية تساوي درجة الحرارة	الضغط	V2/V1	P2 = P1	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)
		T2/T1	P2 = P1	V2 = V1(T2/T1)	T2 = T1(T2/T1)
Isochoric process (Isovolumetric process) (Isometric process)	الحجم	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1	T2 = T1(P2/P1)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)	V2 = V1	T2 = T1(T2/T1)
Isothermal process	درجة الحرارة	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1/(P2/P1)	T2 = T1
		V2/V1	P2 = P1/(V2/V1)	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1
Isentropic process (عملية كظومة عكسية)	عشوائية داخلية	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1(P2/P1)(−1/γ)	T2 = T1(P2/P1)(γ − 1)/γ
		V2/V1	P2 = P1(V2/V1)−γ	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)(1 − γ)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)γ/(γ − 1)	V2 = V1(T2/T1)1/(1 − γ)	T2 = T1(T2/T1)
Polytropic process	P Vn	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1(P2/P1)(-1/n)	T2 = T1(P2/P1)(n − 1)/n
		V2/V1	P2 = P1(V2/V1)−n	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)(1 − n)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)n/(n − 1)	V2 = V1(T2/T1)1/(1 − n)	T2 = T1(T2/T1)
Isenthalpic process (عملية كظومة غير عكسية)	Enthalpy	P2 − P1	P2 = P1 + (P2 − P1)		T2 = T1 + μJT(P2 − P1)
		T2 − T1	P2 = P1 + (T2 − T1)/μJT		T2 = T1 + (T2 − T1)

 الاشتقاقات

 التجريبية

العلاقة بين قوانين الغاز الستة.

 النظرية

 النظرية الحركية

المقالة الرئيسية: النظرية الحركية للغازات

تنص نظرية ديناميكا الغازات على أن الغازات تتكون من ذرات منفردة أو جزيئات منفردة ، وكل منها له كتلة $m$ وسرعة $v$. وتتناسب متوسط طاقة الحركة لجميع الجسيمات تناسبا طرديا مع درجة الحرارة.

${\overline {E_{\mathrm {kin} }}}={\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T$

حيث ${\bar {v^{2}}}$ متوسط مربع سرعة الجسيمات ، وk_B ثابت بولتزمان.

ومنها نرى أن الجزيئات تتحرك بسرعات كبيرة عندما تكون درجة حرارة الغاز عالية. تفعل ذلك فلا تكون سرعاتها متساوية ، وإنما تتبع السرعات توزيعا احصائيا منتظما، ويسمى هذا التوزيع توزيع ماكسويل-بولتزمان.

فإذا كان الغاز موجودا في وعاء حجمه $V$ تصتدم جزيئات الغاز باستمرار بجدار الوعاء وترتد منه. بذلك تعطي الجزيئات بعضا من زخم حركتها ، وتعطي الجزيئات جزءا من زخم حركتها للجدار في كل ثانية على كل سنتيمتر مربع من سطح الجدار. وتؤثر صدمات الجزيئات على كل جزء من أجراء جدار بقوة نسميها "ضغط الغاز" $p$.

• زخم حركة الجزيئ = الكتلة . السرعة

= $m$ . $v$

ويكون ذلك الضغط كبيرا كلما زادت سرعة الجسيمات. فمن ناحية يزداد معدل اصتدام الجزيئات بالجدار بزيادة سرعة الجزيئات ، ومن جهة أخرى تكون الصدمات أكثر شدة بزيادة السرعة و يزداد جزء زخم الحركة الذي تعطيه الجزيئات إلى الجدار . فإذا زادت كثافة الجزيئات في الغاز $N/V$ يزيد احتمال اصتدام الجزيئات بالجدار . من ذلك يمكن استنباط معادة الضغط للغاز:

$p={\frac {2}{3}}{\frac {N}{V}}{\frac {m}{2}}{\bar {v^{2}}}={\frac {2}{3}}{\frac {N}{V}}{\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$.

وإذا عوضنا عن متوسط طاقة الحركة للجزيئات بدرجة الحرارة ، نحصل على معادلة اغاز المثالي :

$p\cdot V=Nk_{\mathrm {B} }T$.

تنطبق تلك المعادلة على غازات قليلة الكثافة وعند درجة حرارة عالية. وعند استنباطنا لها فقد أهملنا قوي التجاذب بين الجسيمات ، التي تخفض من ضغط الجسيمات على جدار الوعاء. وفوق ذلك فإن الجزيئات لها حجم ولا يمكن للغاز أن ينكمش إلى ما لانهاية لأن الجزيئات تشغل جزء من الحجم. أما وصف حالة غاز حقيقي فيمكن بتطبيق معادلة فان دير فال.

ملحوظة: في المعادلة أعلاه التي تعطي متوسط طاقة الحركة ${\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$ للجزيئات نجد فيها العدد 3 في البسط. هذا العدد يعطي ما يسمى درجة حرية الجزيئ ، أي أن في المعادلة توجد "3 درجات حرية" لكل جزيئ ، ذلك يعبر عن أن سرعة v كل جزيئ يمكن تحليلها في ثلاثة اتجاهات : س وص ، ع.

مبدأ أڤوگادرو: ينص على ان الحجوم المتساوية من الغازات المختلفه تحتوي العدد نفسه من الجسيمات عند نفس درجه الحراره والضغط.

 ميكانيكا إحصائية

المقالة الرئيسية: ميكانيكا إحصائية

${\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}$

where the first equality is Newton's second law, and the second line uses Hamilton's equations and the equipartition theorem. Summing over a system of N particles yields

$3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }.$

$-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,$

$\nabla \cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,$

the divergence theorem implies that

$P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\mathrm {volume} }\left(\nabla \cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,$

where dV is an infinitesimal volume within the container and V is the total volume of the container.

Putting these equalities together yields

$3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,$

which immediately implies the ideal gas law for N particles:

$PV=Nk_{B}T=nRT,\,$

حيث n = N/N_A عدد مولات الغاز وR = N_Ak_B هي ثابت الغاز.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انظر أيضاً

• معادلة ڤان در ڤالز
• ثابت بولتزمانt
• جملة الحالات
• ضغط ديناميكي
• طاقة داخلية

 قراءات إضافية

• Davis; Masten (2002). Principles of Environmental Engineering and Science. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-235053-9.

 وصلات خارجية

• "Website giving credit to Benoît Paul Émile Clapeyron, (1799–1864) in 1834". Archived from the original on July 5, 2007.
• Configuration integral (statistical mechanics) where an alternative statistical mechanics derivation of the ideal-gas law, using the relationship between the Helmholtz free energy and the partition function, but without using the equipartition theorem, is provided. Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
• pv=nrt calculator Engineering Units online calculator