حسبان بمتعددات الحدود

في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. و تُعطى مشتقاتها و تكاملها الغير محدود بواسطة القوانين التالية:

$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)'=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

و

$\int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C\,\!$.

لذلك, تكون مشتقة $x^{100}$ هي $100x^{99}$ و التكامل الغير محدود للقيمة $x^{100}$ هو ${\frac {x^{101}}{101}}+C$ حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل و برهانها, و من ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة $f(x)=x^{n}\!$ هي $f'(x)=nx^{n-1}\!$, و بالتالي تكون القاعدة هي

$\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.$

و قاعدة القوة للتكامل هي

$\int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا إستنتاج الإجابة. و يبقى على المرء فقط القيام بإشتقاق هذه المتباينة و إستعمال قاعدة القوة و التحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

 البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب إستعمال طريقة الإشتقاق كنهاية رياضياتية:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

و عند تعويض $f(x)=x^{n}$ ستكون المعادلة على النحو التالي

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.$

ثم يمكن للمرء التعبير عن $(x+h)^{n}$ بإستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.$

يمكن كتابة الحد $i=n$ من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.$

و بسبب إلغاء قيم الحدود $x^{n}$ ستكون المعادلة

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.$

و يمكن إخراج قيمة $h$ من جميع الحدود من المجموع للحصول على

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.$

و بذلك يمكننا إلغاء قيم $h$ من المقام و الحصول على

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.$

و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن $n-i-1>0$ لكل $i<n-1$ و تساوي صفر لكل$i=n-1.$ لذلك نجد قيمة $h^{0}$ فقط عندما يكون $i=n-1$, و بالتالي تكون المعادلة

$f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.$

و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

${n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.$

و بالتالي هذه المعادلة

$f'(x)=nx^{n-1}.\!$

 تفاضل متعددات الحدود الكيفية

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء إستعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:

$\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.$

و بإستعمال التحويل الخطي للتكامل و قاعدة القوة للتكامل, و بإستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي

$\int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.$

 تعميم

يمكن للمرء بأن يبرهن بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, و المعادلة هي

$\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$

عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. و بإستعمال هذه الصيغة, مع

$\int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,$

سيستطيع المرء القيام بمفاضلة و مكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, و التي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

 المراجع

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.