متتالية كوشي

sequence fail to get close to each other as the sequence progresses.]] في الرياضيات, a متتالية كوشي Cauchy sequence، المسماة على اسم أوگوستان كوشي Augustin Cauchy, هي متتالية تصبح عناصرها عشوائياً قريبة لبعضها البعض كلما تقدمت المتتالية. وبطريقة أكثر دقة، بإسقاط عدد كافي (وإن كان محدوداً) من الحدود من بداية المتتالية، يصبح من الممكن أن نجعل القيمة القصوى للمسافات من أي من العناصر الباقية إلى بعضها البعض أصغر من أي قيمة موجبة سابق تحديدها.

The plot of a Cauchy sequence $(x_{n}),$ shown in blue, as $n$ versus $x_{n}.$ If the space containing the sequence is complete, the "ultimate destination" of this sequence, that is, the limit, exists.

A sequence that is not Cauchy. The elements of the sequence fail to get close to each other as the sequence progresses.

متتالية كوشي من المواضيع المهمة في مجال التحليل وتستخدم لتمام الفضاءات. حيث يعرف كوشي تلك المتتاليات كالآتي: أنه إذا إخترت أي عدد حقيقي ε اكبر قطعا من الصفر (ε > 0) و اشترطناه كقيمة مطلقة قصوى للفرق بين $X_{p}$ و $X_{q}$ حيث $X_{i}$ هي مكونات المتتالية فانه يمكن إيجاد رتبة n تحقق هذا الشرط لمجرد تجاوز كل من العددين الصحيحين الطبيعيين q و p لهته الرتبة. . أي بمعنى آخر أن مكونات المتتالية تقترب من بعضها. أي أنه لو رسمنا مثلا مكونات المتتالية على مستقيم فإن هذه النقاط تقترب من بعضها كلما زدنا n. و يسمى كل فضاء فضاء كاملا إذا كانت كل متتالية من متتاليات كوشي من هذا الفضاء تنتهي إلى عنصر من عناصر هذا الفضاء .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الأرقام الحقيقية

المتتالية

$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

of real numbers is called Cauchy, if for every positive real number ε, there is a positive integer N such that for all natural numbers m,n > N

$|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,$

where the vertical bars denote the absolute value.

In a similar way one can define Cauchy sequences of complex numbers.

 في فضاء معياري

To define Cauchy sequences in any metric space, the absolute value $|x_{m}-x_{n}|$ is replaced by the distance $d(x_{m},x_{n})$ between $x_{m}$ and $x_{n}$.

Formally, given a metric space (M, d), a sequence

$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

is Cauchy, if for every positive real number ε > 0 there is a positive integer N such that for all natural numbers m,n > N, the distance

$d(x_{m},x_{n})$

is less than ε. Roughly speaking, the terms of the sequence are getting closer and closer together in a way that suggests that the sequence ought to have a limit in M. Nonetheless, such a limit does not always exist within M.

 التمام

A metric space X in which every Cauchy sequence has a limit (in X) is called complete.

 طالع أيضاً

• Modes of convergence (annotated index)

 المصادر

• Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra (English translation ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00644-8.
• Lang, Serge (1997). Algebra (3rd ed., reprint w/ corr. ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed. ed.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
• Troelstra, A. S. Constructivism in Mathematics: An Introduction. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help) (for uses in constructive mathematics)

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.