مسافة إقليدية

المسافة الإقليدية Euclidean distance هي المسافة العادية بين نقطتين التي يكون من الممكن قياسها باستخدام المسطرة والتي من الممكن برهانها باستخدام مبرهنة فيثاغورس.

باستخدام هذه المسافة فإن الفضاء الإقليدي يصبح فضاء متري (وربما فضاء هلبرت). يشار لهذه المسافة أيضاً باسم 'المسافة الفيثاغورسية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التعريف

المسافة الإقليدية بين النقطتين p و q هي طول القطعة المستقيمة الرابطة بينهما ( ).

في الإحداثيات الكارتيزية، إذا كانت p = (p1، p2،...، pn) و q = (q1، q2،...، qn) هما نقطتان في فضاء إقليدي عدد أبعاده n، فإن المسافة من p إلى q، أو من q إلى p تكون:

 

 

 

 

 

(1)

The position of a point in a Euclidean n-space is a Euclidean vector. So, p and q are Euclidean vectors, starting from the origin of the space, and their tips indicate two points. The Euclidean norm, or Euclidean length, or magnitude of a vector measures the length of the vector:

 

where the last equation involves the dot product.


ثلاثة أبعاد

In three-dimensional Euclidean space, the distance is

 

N أبعاد

In general, for an n-dimensional space, the distance is

 

المسافة الإقليدية المربعة

The standard Euclidean distance can be squared in order to place progressively greater weight on objects that are further apart. In this case, the equation becomes

 

Squared Euclidean Distance is not a metric as it does not satisfy the triangle inequality, however it is frequently used in optimization problems in which distances only have to be compared.

انظر أيضاً

الهامش