حلقة (رياضيات)

الحلقة (Ring) $R$ والتي يرمز لها أحيانا $\{R,+,\times \}$ هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع $+$ و الجداء $\times$¹ بحيث تحقق البديهيات التالية:

1. $\{R,+\}$ زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي $e=0$ و المتمم $\acute{a}=-a$
2. مغلقة بالنسبة للجداء: $\mathrm{\forall }a,b\in R:ab\in R$
3. تجميعية بالنسبة للجداء: $a(bc)=(ab)c\mathrm{\forall }a,b,c\in R$
4. قانونا التوزيع: $a(b+c)=ab+ac\mathrm{\forall }a,b,c\in R$ و $(a+b)c=ac+bc\mathrm{\forall }a,b,c\in R$

ندعو الحلقة بالتبديلية غن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. تبديلية بالنسبة للجداء: $ab=ba\mathrm{\forall }a,b\in R$

يجب أن ننتبه أن هاتين العمليتين رغم انهما تشابهان الجمع و الجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما غير متماثلتين فهما جمع و جداء مجازي و ليس الجمع و الجداء المتعارف عليهما.

هامش

1 لا يستعمل عادة رمز الجداء $\times$ و يستعاض عنه بالرمز $\cdot$ (مثلا $a\cdot b$) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا $ab$)