ميكانيكا تحليلية

في الفيزياء النظرية والفيزياء الرياضية ، فإن الميكانيكا التحليلية أو الميكانيكا النظرية عبارة عن مجموعة من الصيغ البديلة وثيقة الصلة بالميكانيكا الكلاسيكية. تم تطويره من قبل العديد من العلماء وعلماء الرياضيات خلال القرن الثامن عشر وما بعده ، بعد ميكانيكا نيوتن. نظرًا لأن ميكانيكا نيوتن تعتبر الكميات المتجهية للحركة ، لا سيما التسارع والعزم والقوى لمكونات النظام ، فإن الاسم البديل للميكانيكا التي تحكمها قوانين نيوتن وقوانين أويلر هو الميكانيكا الاتجاهية.

ميكانيكا كلاسيكية

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})$ قانون نيوتن الثاني

تاريخ... المفاهيم الأساسية فضاء · زمن · كتلة · قوة طاقة · عزم صيغ ميكانيكا نيوتن ميكانيكا لاگرانج ميكانيكا هاملتونية أقسام ستاتيكا ديناميكا كينماتيكا ميكانيكا تطبيقية ميكانيكا سماوية ميكانيكا متصلة ميكانيكا استاتيكية علماء نيوتن · اويلر · دالمبير · كليرو لاگرانج · لاپلاس · هاملتون · پواسون

على النقيض من ذلك ، تستخدم الميكانيكا التحليلية الخصائص العددية للحركة التي تمثل النظام ككل - عادةً ما تكون طاقته الحركية الكلية وطاقته الكامنة - وليس قوى نيوتن الاتجاهية للجسيمات الفردية. العددي هو كمية ، في حين أن المتجه يتم تمثيله بالكمية والاتجاه. تُشتق معادلات الحركة من الكمية العددية من خلال بعض المبادئ الأساسية حول حساب التغيرات العدد القياسي.

تستفيد الميكانيكا التحليلية من قيود النظام لحل المشكلات. تحد القيود من درجات الحرية التي يمكن أن يتمتع بها النظام ، ويمكن استخدامها لتقليل عدد الإحداثيات اللازمة لحل الحركة. The formalism is well suited to arbitrary choices of coordinates, known in the context as generalized coordinates. يتم التعبير عن الطاقات الحركية والمحتملة للنظام باستخدام هذه الإحداثيات أو العزم المعممة ، ويمكن إعداد معادلات الحركة بسهولة ، وبالتالي تسمح الميكانيكا التحليلية بحل العديد من المشكلات الميكانيكية بكفاءة أكبر من الطريقة الاتجاهية الكاملة. لا تعمل دائمًا مع القوى الغير محافظة أو القوى المبددة مثل الاحتكاك ، وفي هذه الحالة قد يعود المرء إلى ميكانيكا نيوتن.

فرعان مهيمنان للميكانيكا التحليلية هما ميكانيكا لاگرانج (باستخدام الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة المقابلة في فضاء التكوين) و ميكانيكا هاملتونية (باستخدام الإحداثيات والعزم المقابل في فضاء الطور). كلتا الصيغتين متكافئتان من خلال تحويل لجاندر على الإحداثيات والسرعات والعزم المعممة ، وبالتالي يحتوي كلاهما على نفس المعلومات لوصف ديناميكيات النظام. هناك صيغ أخرى مثل نظرية هاملتون-جاكوبي ، ميكانيكا روث ، ومعادلة أبيل للحركة. يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة للجسيمات والمجالات ، بأي شكل من الأشكال ، من النتيجة القابلة للتطبيق على نطاق واسع والتي تسمى مبدأ الفعل الأدنى. إحدى النتائج هي مبرهنة نوثر، وهي عبارة تربط قوانين الحفظ الطاقه بالتماثلات المرتبطة بها.

لا تقدم الميكانيكا التحليلية فيزياء جديدة وليست أكثر عمومية من ميكانيكا نيوتن. بل هي مجموعة من equivalent formalisms التي لها تطبيق واسع. في الواقع ، يمكن استخدام نفس المبادئ والشكليات في الميكانيكا النسبية والنسبية العامة ، ومع بعض التعديلات ، ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي. تستخدم الميكانيكا التحليلية على نطاق واسع ، من الفيزياء الأساسية إلى الرياضيات التطبيقية ، ولا سيما نظرية الفوضى. تنطبق طرق الميكانيكا التحليلية على الجسيمات المنفصلة ، ولكل منها عدد محدود من درجات الحرية. يمكن تعديلها لوصف الحقول أو سريان السوائل ، والتي لها درجات لا نهائية من الحرية. التعريفات والمعادلات لها تشابه وثيق مع تلك الخاصة بالميكانيكا.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 موضوع دراسة الميكانيكا التحليلية

الهدف الأكثر وضوحًا للنظرية الميكانيكية هو حل المشكلات الميكانيكية التي تنشأ في الفيزياء أو علم الفلك. بدءًا من المفهوم الفيزيائي ، مثل آلية أو نظام نجمي ، يتم تطوير مفهوم أو نموذج رياضي في شكل معادلات أو معادلات تفاضلية ثم يتم إجراء محاولة لحلها.

يعتمد النهج المتجهي للميكانيكا ، كما أسسه نيوتن ، على قوانين نيوتن التي تصف الحركة بمساعدة الكميات المتجهة مثل القوة والسرعة والتسارع. هذه الكميات تميز حركة الجسم التي تعتبر مثالية على أنها "نقطة كتلة" أو "جسيم" يُفهم على أنه نقطة واحدة ترتبط بها الكتلة. كانت طريقة نيوتن ناجحة وتم تطبيقها على مجموعة واسعة من المشكلات الفيزيائية ، بدءًا من حركة الجسيم في مجال الجاذبية للأرض ثم امتدت إلى حركة الكواكب تحت تأثير الشمس. في هذا النهج ، تصف قوانين نيوتن الحركة بواسطة معادلة تفاضلية ، ثم يتم تقليل المسألة إلى حل تلك المعادلة.

عندما يكون الجسيم جزءًا من نظام من الجسيمات ، مثل جسم صلب أو سائل ، حيث لا تتحرك الجسيمات بحرية ولكنها تتفاعل مع بعضها البعض ، فإن نظرية نيوتن لا تزال قابلاً للتطبيق في ظل الاحتياطات المناسبة مثل عزل كل جسيم منفرد عن الآخرين ، وتحديد جميع القوى المؤثرة عليه: تلك التي تعمل على النظام ككل وكذلك القوي المؤثرة لكل جسيم مع جميع الجسيمات الأخرى في النظام. يمكن أن يصبح مثل هذا التحليل مرهقًا حتى في الأنظمة البسيطة نسبيًا. كقاعدة عامة ، قوى القوي المؤثرة غير معروفة أو يصعب تحديدها مما يجعل من الضروري تقديم افتراضات جديدة. اعتقد نيوتن أن قانونه الثالث "الفعل يساوي رد الفعل" سيهتم بكل التعقيدات. هذا ليس هو الحال حتى بالنسبة لنظام بسيط مثل دوران الجسم الصلب. في الأنظمة الأكثر تعقيدًا ، لا يمكن للنهج المتجهي إعطاء وصف مناسب.

لا ينظر النهج التحليلي لمشكلة الحركة إلى الجسيم كوحدة معزولة ولكن كجزء من نظام ميكانيكي يُفهم على أنه تجميع للجسيمات التي تتفاعل مع بعضها البعض. عندما يتم أخذ النظام بأكمله في الاعتبار ، يفقد الجسيم المفرد أهميته ؛ تتضمن المشكلة الديناميكية النظام بأكمله دون تقسيمه إلى أجزاء. هذا يبسط الحساب بشكل كبير لأنه في النهج المتجهي ، يجب تحديد القوى بشكل فردي لكل جسيم بينما في النهج التحليلي يكفي معرفة معادلة واحدة تحتوي ضمنيًا على جميع القوى المؤثرة علي و في النظام . غالبًا ما يتم مثل هذا التبسيط باستخدام شروط حركية معينة مذكورة مسبقًا ؛ هم موجودون مسبقًا ويرجعون إلى عمل بعض القوى القوية. ومع ذلك ، فإن المنهج التحليلي لا يتطلب معرفة هذه القوى ويأخذ هذه الشروط الحركية كأمر مسلم به. بالنظر إلى مدى بساطة هذه الشروط مقارنة بالعديد من القوى التي تحافظ عليها ، يصبح تفوق النهج التحليلي على النهج المتجه واضحًا.

ومع ذلك ، فإن معادلات الحركة لنظام ميكانيكي معقد تتطلب عددًا كبيرًا من المعادلات التفاضلية المنفصلة التي لا يمكن اشتقاقها دون بعض الأساس الموحد الذي تتبع منه. هذا الأساس هو المبادئ المتغيرة: خلف كل مجموعة من المعادلات يوجد مبدأ يعبر عن معنى المجموعة بأكملها. بالنظر إلى كمية أساسية وشاملة تسمى "الإجراء" ، فإن المبدأ القائل بأن هذا الإجراء يكون ثابتًا في ظل اختلاف صغير لبعض الكمية الميكانيكية الأخرى يولد المجموعة المطلوبة من المعادلات التفاضلية. لا يتطلب التعبير عن المبدأ أي نظام إحداثيات خاص ، ويتم التعبير عن جميع النتائج في إحداثيات معممة. هذا يعني أن المعادلات التحليلية للحركة لا تتغير عند تغيير الإحداثي ، وهي خاصية الثبات التي تفتقر إليها المعادلات الاتجاهية للحركة.

ليس من الواضح تمامًا ما المقصود بـ "حل" مجموعة من المعادلات التفاضلية. تعتبر المشكلة محلولة عندما يتم التعبير عن إحداثيات الجسيمات في الوقت (t) على أنها وظائف بسيطة لـ (t) و للمعلمات التي تحدد المكان والسرعات الأولية. ومع ذلك ، فإن `` الدوال البسيطة '' ليست مفهومًا محددًا جيدًا: في الوقت الحاضر ، لا يُنظر إلى الداله f (t) على أنها تعبير رسمي في t (الداله الابتدائية) كما في زمن نيوتن ولكن بشكل عام على أنها كمية محددة بواسطة t ، وليس من الممكن رسم خط فاصل بين الدوال "البسيطة" و "غير البسيطة". إذا تحدث المرء عن "الدوال" فقط ، فسيتم حل كل مشكلة ميكانيكية بمجرد أن يتم تحديدها جيدًا في المعادلات التفاضلية ، نظرًا للشروط الأولية و t يحدد الإحداثيات عند t. هذه حقيقة خاصة في الوقت الحاضر مع الأساليب الحديثة للنمذجة الحاسوبية التي توفر حلولًا حسابية للمشاكل الميكانيكية لأي درجة مطلوبة من الدقة ، حيث يتم استبدال المعادلات التفاضلية بمعادلات الفرق.

ومع ذلك ، على الرغم من افتقارها إلى تعريفات دقيقة ، فمن الواضح أن مشكلة الجسمين لها حل بسيط ، في حين أن مشكلة الأجسام الثلاثة ليس لها حل. يتم حل مشكلة الجسمين من خلال الصيغ التي تتضمن المعاملات ؛ يمكن تغيير قيمها لدراسة فئة جميع الحلول ، أي البنية الرياضية للمشكلة. علاوة على ذلك ، يمكن عمل صورة ذهنية أو مرسومة دقيقة لحركة جسمين ، ويمكن أن تكون حقيقية ودقيقة مثل الأجسام الحقيقية التي تتحرك وتتفاعل. في مشكلة الأجسام الثلاثة ، يمكن أيضًا تعيين قيم محددة للمعاملات ؛ ومع ذلك ، فإن الحل عند هذه القيم المخصصة أو مجموعة من هذه الحلول لا يكشف عن البنية الرياضية للمشكلة. كما هو الحال في العديد من المشاكل الأخرى ، لا يمكن توضيح البنية الرياضية إلا من خلال فحص المعادلات التفاضلية نفسها.

تهدف الميكانيكا التحليلية إلى أكثر من ذلك: ليس فهم البنية الرياضية لمشكلة ميكانيكية واحدة ، ولكن لفهم فئة من المشكلات واسعة النطاق بحيث تشمل معظم الميكانيكا. إنه يركز على الأنظمة التي تنطبق عليها معادلات لاغرانج أو هاملتونيان للحركة والتي تتضمن نطاقًا واسعًا جدًا من المشكلات بالفعل.

تطوير الميكانيكا التحليلية له هدفان: (1) زيادة نطاق المشاكل القابلة للحل من خلال تطوير تقنيات قياسية مع مجموعة واسعة من التطبيقات ، و (2) فهم البنية الرياضية للميكانيكا. ومع ذلك ، على المدى الطويل ، (2) يمكن أن تساعد (1) أكثر من التركيز على مشاكل محددة تم تصميم الطرق من أجلها بالفعل.

 الحركة الفعلية

 الإحداثيات والقيود المعممة

في ميكانيكا نيوتن ، يستخدم المرء عادةً جميع الإحداثيات الديكارتية الثلاثة ، أو نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد آخر ، للإشارة إلى موضع الجسم أثناء حركته. لكن في الأنظمة الفيزيائية ، عادة ما تقيد بعض الهياكل أو الأنظمة الأخرى حركة الجسم من اتخاذ اتجاهات ومسارات معينة. لذلك غالبًا ما تكون مجموعة كاملة من الإحداثيات الديكارتية غير ضرورية ، حيث تحدد القيود العلاقات المتطورة بين الإحداثيات ، والتي يمكن نمذجة العلاقات من خلال المعادلات المقابلة للتقييد. في معدلات لاغرانج وهاملتونيان ، تم دمج القيود في هندسة الحركة ، مما يقلل من عدد الإحداثيات إلى الحد الأدنى المطلوب لنمذجة الحركة. تُعرف هذه بالإحداثيات المعممة ، ويُشار إليها بـ $q_{i}{(i=1,2,3...)}$.

 الفرق بين الإحداثيات المنحنية والمعممة

تتضمن الإحداثيات المعممة قيودًا على النظام. هناك إحداثي واحد معمم $q_{i}$ لكل درجة من الحرية (للملاءمة تم تحديدها بواسطة رقم تسلسلي i = 1 ، 2 ... N) ، بمعنى آخر كل طريقة يمكن للنظام تغيير تكوينها ؛ كأطوال منحنية أو زوايا دوران. الإحداثيات المعممة ليست هي نفس الإحداثيات المنحنية. يساوي عدد الإحداثيات المنحنية أبعاد مساحة الموضع المعنية (عادة 3 لمساحة ثلاثية الأبعاد) ، في حين أن عدد الإحداثيات المعممة لا يساوي بالضرورة هذا البعد ؛ يمكن أن تقلل القيود عدد درجات الحرية (ومن ثم عدد الإحداثيات المعممة المطلوبة لتحديد تكوين النظام) ، باتباع القاعدة العامة:

[أبعاد مساحة الموضع (عادة 3)] × [عدد مكونات النظام ("الجسيمات")] - (عدد القيود) = (عدد درجات الحرية) = (عدد الإحداثيات المعممة)

بالنسبة إلى نظام بدرجة N من الحرية ، يمكن جمع الإحداثيات المعممة في مجموعة N:

$q=(q_{1},q_{2},\cdots q_{N})$

والاشتقاق بالنسبة للزمن (المشار إليه هنا بنقطة زائدة) من هذه المجموعة يعطي السرعات المعممة:${\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\cdots {\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots {\dot {q}}_{N})$

 مبدأ دالمبرت

الأساس الذي بُني عليه الموضوع هو مبدأ دالمبرت.

ينص هذا المبدأ على أن العمل الافتراضي المتناهي الصغر الذي تقوم به قوة عبر عمليات الإزاحة العكسية هو صفر ، وهو العمل الذي تقوم به قوة متوافقة مع القيود المثالية للنظام. فكرة القيد مفيدة - لأن هذا يحد مما يمكن للنظام القيام به ، ويمكن أن يوفر خطوات لحل حركة النظام. معادلة مبدأ دالمبرت هي:

$\delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,$

حيث

${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\cdots {\mathcal {Q}}_{N})$

هي القوى المعممة (يستخدم البرنامج النصي Q بدلاً من Q العادي هنا لمنع التعارض مع التحولات الأساسية أدناه) و q هي الإحداثيات المعممة. يؤدي هذا إلى الشكل المعمم لقوانين نيوتن في أسلوب الميكانيكا التحليلية:

${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

حيث T هي الطاقة الحركية الكلية للنظام ، والترميز

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)$

هو اختصار مفيد (انظر حساب المصفوفات لهذا الترميز).

 القيود الشاملة

إذا تم تحديد نظام الإحداثيات المنحنية بواسطة متجه الموضع القياسي r ، وإذا كان من الممكن كتابة متجه الموضع من حيث الإحداثيات المعممة q والوقت t في النموذج:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)$

وهذه العلاقة صالحة لجميع الأوقات t ، ثم q تسمى القيود الشمولية. يعتمد المتجه r بشكل صريح على t في الحالات التي تختلف فيها القيود مع الوقت ، وليس فقط بسبب q (t). بالنسبة للحالات المستقلة عن الوقت ، تُسمى القيود أيضًا بالتصليب ، أما بالنسبة للحالات التي تعتمد على الوقت ، فيُطلق عليها اسم رينومي. [5]