في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام
p
n
(
x
)
y
(
n
)
+
p
n
−
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
p
1
(
x
)
y
′
+
p
0
(
x
)
y
=
q
(
x
)
(
1
)
{\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)y^{\prime }+p_{0}(x)y=q(x)\qquad (1)}
حيث
p
i
(
x
)
{\displaystyle p_{i}(x)\!}
q
(
x
)
{\displaystyle {q(x)}\!}
توابع (أو دالات ) معلومة وحيث
p
n
(
x
)
≠
0
{\displaystyle p_{n}(x)\neq 0}
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)\!}
عندما
q
(
x
)
=
0
{\displaystyle q(x)=0\!}
بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة.
عندما تكون المعاملات
p
i
(
x
)
{\displaystyle p_{i}(x)\!}
ذات معاملات ثابته .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
تمثيلات أخرى
أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجةin بالرمز
D
i
{\displaystyle D^{i}}
y
(
i
)
=
d
i
y
d
x
i
=
D
i
y
{\displaystyle y^{(i)}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}=D^{i}y\!}
وتصبح المعادلة (1) كالتالي
(
p
n
(
x
)
D
n
+
p
n
−
1
(
x
)
D
n
−
1
+
⋯
+
p
1
(
x
)
D
+
p
0
(
x
)
)
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle (p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)}
أو
∑
i
=
0
n
p
i
(
x
)
D
i
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)D^{i}y=q(x)\!}
حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
هذه المعادلة هي من الشكل
p
n
y
(
n
)
+
p
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
p
1
y
′
+
p
0
y
=
0
{\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=0}
وتحل باستخدام الوسيط
y
=
e
λ
{\displaystyle y=e^{\lambda }\!}
فنحصل على معادلة جبرية من الشكل
p
n
λ
n
+
p
n
−
1
λ
n
−
1
+
⋯
+
p
1
λ
+
p
0
=
0
{\displaystyle {p_{n}\lambda ^{n}+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_{1}\lambda +p_{0}=0}}
λ
=
s
0
,
s
1
,
…
,
s
n
−
1
{\displaystyle \lambda =s_{0},s_{1},\dots ,s_{n-1}}
يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية
y
i
(
x
)
=
e
s
i
x
{\displaystyle y_{i}(x)=e^{s_{i}x}}
من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل
y
H
(
x
)
=
C
0
(
x
)
y
0
(
x
)
+
C
1
(
x
)
y
1
+
⋯
+
C
n
−
1
(
x
)
y
n
−
1
{\displaystyle y_{H}(x)=C_{0}(x)y_{0}(x)+C_{1}(x)y_{1}+\cdots +C_{n-1}(x)y_{n-1}}
حيث
C
i
(
x
)
{\displaystyle C_{i}(x)\!}
حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة
p
n
y
(
n
)
+
p
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
p
1
y
′
+
p
0
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=q(x)\!}
طرق حل المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة
تحوبل لابلاس تغييرالمعاملات طريقة التردد 
