مبرهنة الوتر الثابت

مبرهنة الوتر الثابت constant chord theorem هي عبارة في الهندسة الابتدائية حول خاصية أوتار معينة في دائرتين متقاطعتين.

الطول الثابت للوتر: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

الطول الثابت للقطر: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

الدائرتان $k_{1}$ و $k_{2}$ تتقاطعان في نقطتين $P$ و $Q$. $Z_{1}$ هي نقطة اختيارية على $k_{1}$ تختلف عن $P$ و $Q$. الخطان $Z_{1}P$ و $Z_{1}Q$ يقطعان الدائرة $k_{2}$ في $P_{1}$ و $Q_{1}$. لذلك تنص مبرهنة الوتر الثابت على أن طول الوتر $P_{1}Q_{1}$ في $k_{2}$ لا يعتمد على موقع $Z_{1}$ على $k_{1}$، بكلمات أخرى: الطول ثابت.

وتبقى المبرهنة سارية حين تتطابق $Z_{1}$ مع $P$ أو $Q$، طالما أن واحدة تستبدل الخط غير المُعرَّف آنذاك $Z_{1}P$ أو $Z_{1}Q$ بالمماس على $k_{1}$ عند $Z_{1}$.

وتوجد مبرهنة مشابهة في الأبعاد الثلاثة لتقاطع كرتين. الكرتان $k_{1}$ و $k_{2}$ تتقاطعان في الدائرة $k_{s}$. $Z_{1}$ هي نقطة اختيارية على سطح الكرة الأولى $k_{1}$، ليست على دائرة التقاطع $k_{s}$. القمع الممدد الناشئ عن $k_{s}$ و $Z_{1}$ يتقاطع مع الكرة الثانية $k_{2}$ في دائرة. طول قطر الدائرة ثابت، أي أنه لا يعتمد على موقع $Z_{1}$ على $k_{1}$.

وصف ناثان آلت‌شيلر كورت مبرهنة الوتر الثابت في 1925 في المقال sur deux cercles secants لدورية الرياضيات البلجيكية Mathesis. وبعد ثمانية أعوام نشر On Two Intersecting Spheres في الشهرية الرياضية الأمريكية، التي ضمت النسخة ثلاثية الأبعاد. ولاحقاً تم ضمها لعدد من الكتب المرجعية، مثل كتاب روس هونزبرگر Mathematical Morsels وكتاب روجر نلسن Proof Without Words II، حيث أُعطيت كمسألة، أو في الكتاب المرجعي الألماني للهندسة Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten by Halbeisen, Hungerbühler and Läuchli، حيث اُعطيت كمبرهنة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المراجع

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, p. 16 (German)
• Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, p. 29
• Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0883853030, pp. 126–127
• Nathan Altshiller Court: On Two Intersecting Spheres. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, pp. 265–269 (JSTOR)
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, p. 453 (French)

 وصلات خارجية

• constant chord theorem as problem at cut-the-knot.org