تحويل أفيني

في الهندسة الرياضية، التحويل الأفيني بين فضائين شعاعيين (أو بشكل دقيق فضائين أفينيين) يتكون من تحويل خطي يتبع بعملية نقل:

صورة كسيري شبيه بالسرخسيات لديه تشابه ذاتي أفينية

x\mapsto Ax+b

(أصل كلمة أفين هي من اللغة اللاتينية affinis وتعني "المتصل").

في البعد الأفيني، كل تحويل أفيني يعطى بالمصفوفة A والمتجهة b .

بالمعنى الفيزيائي، التحويل الأفيني هو التحويل الذي يحافظ على:

العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل
النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ تقع على مستقيم، فإن النسبة $|p_{2}-p_{1}|/|p_{3}-p_{2}|$ تكون محققة قبل وبعد التحويل.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التعريف الرياضي

الراسم الأفيني $\scriptstyle f:{\mathcal {A}}\;\to \;{\mathcal {B}}$ بين فضائين أفينيين هو راسم يعمل على متجهات، معرفة بأزواج من النقاط، كـتحويل خطي: يوجد تحويل خطي φ بحيث

{\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})

for any pair of points $\scriptstyle P,\,Q\,\in \,{\mathcal {A}}$ . If an origin $\scriptstyle O\in {\mathcal {A}}$ is chosen, and $\scriptstyle B\,$ denotes its image $\scriptstyle f(O)\,\in \,{\mathcal {B}}$ , then this means that for any vector $\scriptstyle {\vec {x}}$ :

f:O+{\vec {x}}\mapsto B+\varphi ({\vec {x}}).

If an origin $\scriptstyle O'\,\in \,{\mathcal {B}}$ is also chosen, this can be decomposed as an affine transformation $\scriptstyle {\mathcal {A}}\,\to \,{\mathcal {B}}$ that sends $\scriptstyle O\;\mapsto \;O'$ , namely