المجانسة

المجانسة homography أو التقابل المتجانس homographic correspondence هو التقابل بين متحولين جبريين حقيقيين x وy؛ كل منهما من الدرجة الأولى، تربطهما العلاقة axy + bx + cy + d = 0 حيث a, b, c, d ∈ R (a,b,c,d أعداد حقيقية). Homography-transl-bold.svg يمكن أن تكون x وy فاصلتي نقطتين على محور واحد (أو على محورين مختلفين)، أو أمثال توجيه مستقيمين، أو غير ذلك.

Points A, B, C, D and A', B', C', D' are related by a projective transformation.
الشكل (1)

مثال (1): لتكن M(x, y) نقطة ما من منحني الدالة (التابع) (الشكل 1) إحداثياها x وy اللذان تربطهما علاقة المجانسة 2xy - 3x + y + 2 = 0.

مثال (2): ليكن المثلث ABC (الشكل 2) فيه AD وAE منصفاً زاوية الرأس A (الداخلي والخارجي). يوجد تناسب بين أطوال القطع المستقيمة

مجانسة3.jpg

فإذا اتخذ BC محوراً، واتخذت نقطة ما منه O (مثلاً) مبدأً للإحداثيات،

مجانسة4.jpg
الشكل (2)

فإن الفاصلتين x وx`

الشكل (3)
مجانسة7.jpg

مثال (3): ليكن L وL` مستقيمين متقاطعين في المستوي المنسوب إلى المحورين الإحداثيين OX وOY ميلاهما m وm` والزاوية بينهما θ فإن:

مجانسة8.jpg

فإذا كانت tg θ = α فإن الميلين m وm` تربطهما علاقة المجانسة:

α m m`+ m`- m + α = 0

خصائص أساسية لعلاقة المجانسة axy + bx + cy + d = 0:

1) في الحالة العامة عندما a ≠ 0 يمكن حساب أحد المتحولين بدلالة الآخر، مثلاً:

مجانسة9.jpg

2) عندما a = 0 وb, c ≠ 0 يمكن التعبير عن أحد المتحولين كتابع للآخر بعلاقة خطية، مثلاً:

مجانسة10.jpg

3) a ≠ 0 يجعل العلاقة axy + bx + cy + d = 0 مكافئة للعلاقة (ax + c) (ay + b) = b.c - a.d أو

مجانسة11.jpg

آ) b.c - a.d ≠ 0 فكل قيمة منتهية

مجانسة12.jpg

للمتحول y تقابلها قيمة منتهية للمتحول x. أما إذا اقتربت x من القيمة

مجانسة13.jpg
فإن قيمة y تسعى إلى اللانهاية.

فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة.

وإذا اقتربت y من القيمة

فإن قيمة x تسعى إلى اللانهاية. وإذا غدت

مجانسة17.jpg

فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة

ب) b.c - a.d = 0 فالعلاقة تصبح:

مجانسة18.jpg

وتدعى شاذة singular أو معتلة improper، ولا تعين نقاط تقابل متجانس.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

انظر أيضاً


المصادر

  • O. Chum and T. Pajdla and P. Sturm (2005). "The Geometric Error for Homographies". Computer Vision and Image Understanding. 97 (1): 86–102. doi:10.1016/j.cviu.2004.03.004.
  • Gunter Ewald (1971) Geometry: An Introduction, page 263, Belmont:Wadsworth Publishing ISBN 0-534-00034-7 .
  • Bill Goldman (2005) Transformations in Circle Geometry, course notes from University of Maryland.
  • Frank Morley and F.V. Morley (1933) Inversive Geometry, page 38, London: G. Bell and Sons.

وصلات خارجية