أسطوانة (هندسة)

الأسطوانة هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد ينتج من دواران كامل للمستقيم g حول مستقيم a بشرط أن يكون g و a متوازيين . في هذه الحالة يُسميان محور و مولد المخروط. أي دائرة يحصل عليها، نتيجة لذلك الدواران، تسمى قاعدة أو دليل.

• ملاحظة: في حالة التقاطع بين g a يتولد المخروط كحالة إستثنائية للأسطوانة.

أسطوانة Cylinder

هذه المقالة حول الأسطوانة كمجسم ثلاثي الأبعاد، إذا كنت تبحث عن شيء آخر انظر أسطوانة (توضيح)

أسطوانة Cylindre (باللغة الفرنسية) شكل مجسم تكون قاعداته من دائرتين متطابقتين في مستويين متوازيين وسطحه الجانبي منحن.

• المساحة الجانبيه = محيط القاعدة × الارتفاع
• أو = ق × ط × ع
• الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

• = نق × نق× ط × ع

• المساحة الكلية = المساحة الجانبيه + مساحة القاعدتين

(ق×ط×ع) + (نق×نق×ط×2)

في الرياضيات، تعتبر الأسطوانة من المجسمات الأساسية، وهي أي مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاه تسمى محور الاسطوانة ويسمى الحيز المغلق بمستويين متوازيين يتعامدان مع المحور أسطوانة، ويمكن تعريفه كأي مجسم ينتج من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة، ويسمى محور الدوران بمحور الاسطوانة والضلع المقابل له يسمى بمولد أو راسم الاسطوانة. الدائرتين التي تحد المجسم من الجهتين تسمى قاعدة أو دليل، القطعة المستقيمة التي تتعامد مع القاعديتن تسمى ارتفاع الاسطوانة، إذا كان ارتفاع الاسطوانة يتعامد مع محيط قاعدتي الاسطوانة سميت اسطوانة قائمة وإلا سميت اسطوانة مائلة.
إذا قيل اسطوانة بدون تحديد فإننا نقصد الاسطوانة الدائرة القائمة.
الأسطوانة التي مقطعها العرضي هو قطع زائد أو قطع ناقص أو قطع مكافئ يسمى الاسطوانة الزائدة والاسطوانة الناقصة والاسطوانة المكافئة .ولا تنطبق عليها التعريفات السابقة .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قوانين عامة

هذه القوانين حول الاسطوانة الدائرة القائمة

r : نصف قطر القاعدة.

h : ارتفاع الاسطوانة أو محورها.

A : مساحة القاعدة ويمكن حسابة عن طريق $A=\pi r^{2}\,$

P : محيط القاعدة , ويمكن حسابة عن طريق $P=2\pi r\,$

 مساحات

• المساحة الجانبيه = محيط القاعدة × الارتفاع = $P\times h$
• مساحة القاعدة العليا = $\pi r^{2}\,$
• مساحة القاعدة السفلى = $\pi r^{2}\,$
• المساحة الكلية = $(2\times \pi r^{2})+(P\times h)$

 الحجم

تمثيل الاسطوانة كمجسم دوراني

عنصر الحجم هو أسطوانة قائمة مساحة قاعدتها $A(w_{i})$ وحدة مربعة وسمكها $\Delta _{i}x$ من الوحدات. ولذلك فإذا كان وحدات الحجم $V$ هي حجم الأسطوانية الدائرية القائمة، فحسب جموع ريمان، يكون:

$V=\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

$=\int _{0}^{h}A(y)dy$

$=\int _{0}^{h}\pi r^{2}dy$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

مثال: ما المساحة الجانبيه وما الحجم لاسطوانه قطر قاعدتها 14 دسم وارتفاعها 35 دسم؟ الحل : المساحة الجانبيه = 14×22/7 × 35 = 1540 دسم2

• الحجم = 7×7×22/7×35= 5390 دسم3
• أي 5390 لتر أو 5 كوب و 390 لتر

يمكن ايجاد حجم الاسطوانة مثل ايجاده في المنشور :

بضرب مساحة القاعدة في الارتفاع = $A\times h$

ويمكن التوصل لنفس النتيجة باعتبار الاسطوانة مجسم دوراني ينشأ عن دوران دالة ثابتة حول المحور السيني

إذن يمكن حساب الحجم عن طريق = $\pi \times \int _{0}^{h}[d(x)]^{2}dx$

 أشكال أخرى من الاسطوانة

An elliptic cylinder

An elliptic cylinder, or cylindroid, is a quadric surface, with the following equation in Cartesian coordinates:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

This equation is for an elliptic cylinder, a generalization of the ordinary, circular cylinder (a = b). Even more general is the generalized cylinder: the cross-section can be any curve.

The cylinder is a degenerate quadric because at least one of the coordinates (in this case z) does not appear in the equation.

An oblique cylinder has the top and bottom surfaces displaced from one another.

There are other more unusual types of cylinders. These are the imaginary elliptic cylinders:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

the hyperbolic cylinder:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

and the parabolic cylinder:

$x^{2}+2ay=0.\,$

 الهندسة الاسقاطية

في الهندسة الإسقاطية، الأسطوانة هي ببساطة قمع رأسه في مالا نهاية، التي تناظر شكلياً قمع في إسقاط يظهره كما لو كان قمعاً متجه للسماء.

في الهندسة الإسقاطية، الأسطوانة هي أساساً قمع رأسه في مالا نهاية.

وهو أمر مفيد في تعريف degenerate conics، التي تتطلب اعتبار cylindrical conics.

 انظر أيضا

• صلب شتاين‌متس، وهو تقاطع أسطوانتين أو ثلاث أسطوانات متعامدات
• منشور (هندسة)
• دائرة
• مخروط
• مجسم دوراني

 المصادر

• كتاب الرياضيات للصف الثالث ثانوي , الفصل الدراسي الثاني, طبعة 1431-1432هـ , المملكة العربية السعودية

 وصلات خارجية

• Surface area of a cylinder at MATHguide
• Volume of a cylinder at MATHguide
• Spinning Cylinder at Math Is Fun
• Volume of a cylinder Interactive animation at Math Open Reference