نهاية متتالية

The sequence given by the perimeters of regular n-sided polygons that circumscribe the unit circle has a limit equal to the perimeter of the circle, i.e. $2\pi r$. The corresponding sequence for inscribed polygons has the same limit.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

As the positive integer $n$ becomes larger and larger, the value $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ becomes arbitrarily close to $1$. We say that "the limit of the sequence $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ equals $1$."

لنفرض وجود x₁, x₂, ... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T. نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة و نكتب

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L$

إذا و فقط إذا كان :

من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث x_n ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N .

تنقسم المتتابعات إلى قسمين :

1- متتابعات حسابية ..

ويستعمل فيها القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ + ( ن-1 ) د

حيث أ هو حد المتتابعة الأول ود هو الفرق العام بين حدود المتتابعة ،, واليكم هذا المثال : المتتابعة :

1 ،-3 ،-7 ، -11, .... أوجد الحد العشرين فيها

أ + 1

وحتى نحصل على د نطرح كل حد من سابقة كالتالي ..

-11 -(-7) ====> -11+7 = -4

اذن د = -4

ن = 20 ===> الحد المطلوب (الحد النوني )

والآن نطبق القانون السابق :

ح20 = 1 + (20-1)-4
    = 1 + ( 19 )-4
    = 1 -76
    = -75

2- المتتابعات الهندسية ..

يستعمل القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ ر( أس ) ن-¹

حيث أ : هي الحد الاول

ر: هي الفرق العام ====> غير الرمز هنا لتمييز المتتابعة الهندسية من الحسابية .

ن : هي عدد الحدود (او الحد المطلوب )

واليكم هذا المثال :

المتتابعة 3 ، 6 ، 12 ،24 . ....

اوجد الحد الخامس فيها :

نقول هنا :

أ = 3

ن = 5

حتى نستنتج ر نقوم بما يلي :

نقسم كل حد على سابقه ..

24            12
——  =2   ،    ——  = 2
12             6 

وهكذا نستنتج ان ر = 2

وبتطبيق القانون :

ح ن = أ ر( أس ) ن-¹
 ح5 = 3 × 2 ( أس) 4
    = 3 ×16
    =  48

اذن الحد الخامس يساوي 48

انظر أيضاً

• Limit of a net — A net is a topological generalization of a sequence.
• Modes of convergence
• Shift rule

المراجع

• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Limit", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• A history of the calculus, including limits