قاعدة پاسكال

يجب ألا يـُخلـَط بينها وبين قانون پاسكال.

في الرياضيات، قاعدة پاسكال هي متطابقة توافيقية عن معاملات ثنائيات الحدود. وتنص على أنه لأي عدد طبيعي n يكون لدينا

${n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n$

حيث ${n \choose k}$ هو معامل لثنائية الحدود. ويشيع كتابة ذلك كالتالي

${n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n+1$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 برهان جبري

نحتاج أن نُظهـِر

${n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}.$

ولنبدأ بكتابة الطرف الأيسر

${\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}.$

وبتوحيد المقامات ثم التبسيط، نحصل على

${\begin{aligned}&{}\qquad {\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}}+{\frac {kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}}\\\\&={\frac {(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}}\\\\&={n+1 \choose k}.\end{aligned}}$

 تعميم

فلنفترض $n,k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p},p\in \mathbb {N} ^{*}\,\!$ و $n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\,\!$. ثم

${\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}$

 انظر أيضاً

• مثلث پاسكال

 المصادر

• قالب:PlanetMath attribution
• قالب:PlanetMath attribution
• Merris, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

 وصلات خارجية

• Central binomial coefficient على بلانيت ماث
• Binomial coefficient على بلانيت ماث
• Pascal's triangle على بلانيت ماث