تابع الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) probability density function أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما ويكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

توقيع صندوقي ودالة الكثافة الاحتمالية (pdf) لتوزيع احتمالي گاوسي N(0, σ²)

$\int _{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1$

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها عبارة عن تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي $X$ دالة كثافة إحتمالية $f\left(X\right)$، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

$P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx$

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير $X$ قيمًا في الفترة $\left[a,b\right]$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت $F$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير $X$، يتحقق:

$,F\left(x\right)=\int _{-\infty }^{x}f\left(u\right)du$

وكذلك، فإنّ:

$f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)$

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة $f\left(x\right)$, عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي $\left[x,x+dx\right]$ هو $f\left(x\right)dx$.

 دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة $\left[a,b\right]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة $\left[a,b\right]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة $\left[a,b\right]$، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة $\left[a,b\right]$، أي:

$f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad x<a,x>b\end{cases}}$

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

$f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-$\mu$ والتباين مساويًا لـ-$\sigma ^{2}$ تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

$f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

 استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

$E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx$

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

 انظر أيضًا

• دالة توزيع تراكمي
• دالة الإمكان
• دالة مولدة عزم

 وصلات خارجية

• Eric W. Weisstein, تابع الكثافة الاحتمالية at MathWorld.