الموجة الجيبية والاستطاعة

الموجة الجيبية والاستطاعة

الموجة المتناوبة: هي عبارة عن فلطية أو تيار متغيرة بشكل متكرر بتغير الزمن، بحيث تكون قيمتها موجبة تارة، وسالبة تارة أخرى. لها أنواع مختلفة، مثل الموجات المستطيلة، الموجات الجيبية، والموجات المثلثية.

يستخدم الرمز AC للدلالة على التيار المتناوب Alternate Current بينما يستخدم الرمز DC للدلالة على التيار المستمر Direct Current.

ما الذي يمتاز به التيار المتناوب عن التيار المستمر؟ في الحقيقة قد لا توجد له ميزات في التطبيقات التي تستخدم فيها الكهرباء لتبديد الطاقة على شكل حرارة. لكن هذا الأمر يختلف عند التحدث عن التطبيقات الأعقد. فمن أجل نقل الطاقة على مسافات بعيدة، يمكننا التحكم بمطال التيار، فنرفع مطال الفلطية إلى قيمة عالية بحيث تصبح قيمة مطال التيار منخفضة، وهذا ما يخفف بشكل كبير من الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة الأسلاك، إذا ما قارناها بالاستطاعة المستهلكة عندما يكون التيار مستمرا.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الموجة الجيبية

الموجة الجيبية هي فلطية أو تيار تتغير بشكل جيبي مع الزمن ، يمكن تمثيل أية موجة بعلاقة من الشكل:

$a(t)=A\sin(\omega t+\theta )\,\,$

بما أن القيمة العظمى التي يصلها التابع الجيبي هي الواحد، فسيكون المعامل المضروب به A هو القيمة العظمى التي تأخذها الموجة، أي مطال أو سعة الموجة، ويكون مقدرا بالفولط أو بالآمبير.

المقدار$(\omega t+\theta )\,\,$ هو صفحة الموجة، ويقدّر بالراديان.

أما بالنسبة لـ $\omega \,\,$ فهو نبض الموجة. ويقدر بالراديان/ثا. والمقدار خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\,\,} يسمى الطور (الصفحة الابتدائية للموجة) ويقدر بالراديان. سنتناول الآن بالشرح هذه المفاهيم.

 نبض الموجة

حتى نستطيع استيعاب المدلول الفيزيائي لهذا المفهوم علينا أن ننتظر حتى نتعرف على طريقة تمثيل الموجة الجيبية. وسنكتفي الآن أن نشير إلى هذا المقدار يرتبط بكل من دور وتواتر الموجة الجيبية وفق العلاقة:

$\omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}\,\,$

دور الموجة T هو المدة الزمنية التي تفصل بين مرورين متعاقبين للموجة من الصفر (أو أية قيمة أخرى)، ويقدر بالثانية.

تواتر (تردد) الموجة f هو مقلوب الدور، ويقدر بالهرتز، ويعبر عن عدد المرات التي تتكرر فيها الموجة في الثانية واحدة.

الموجة الجيبية التي تستخدم في التغذية الكهربائية للمدينة ذات تردد 50Hz ومطال 220V.

 الطور

في اللحظة الزمنية t = 0 تكون صفحة التابع الجيبي: $\omega t+\theta =0+\theta =\theta \,$ . فالطور يعبر عن الصفحة الابتدائية للموجة الجيبية.

لنحاول أن نفهم الطور بطريقة مختلفة. لتكن لدينا موجة جيبية أخرى هي$a_{0}(t)=A\sin(\omega t)\,$. يعبر الطور هنا عن فرق الصفحة بين الموجة المدروسة $a\,$ والموجة الأخرى$a_{0}\,$ والتي غالبا ما تسمى بالموجة المرجعية. لهذافالطور مقدار نسبي وليس مقدارا مطلقا خاصا بالموجة، وفي حال كانت موجبة، نقول أن$a\,$ متقدمة بالطور$a_{0}\,$ على (كما هو الحال في الشكل)، وفي حال كانت خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\,} سالبة، نقول أن $a\,$ متأخرة بالطور عن $a_{0}\,$.

 تمثيل الموجة الجيبية

يمكن تمثيل الموجة الجيبية بشعاع طويلته هو مطال الموجة A، يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية هي نبض الموجة. في الشكل أدناه قمنا بتمثيل الموجتين السابقتين: و.

يمثل الشكل الأول وضع الموجتين الجيبيتين في اللحظة $t=0\,$. عندها تكون صفحة التابع $A_{0}\,$ مساوية للصفر، لذلك فإنه يكون منطبقا على المحور الأفقي. أما بالنسبة للتابع $a\,$ فإن صفحته ستكون وهي نفسها الزاوية التي يصنعها الشعاع مع المحور الأفقي. وبما أن الشعاعان يدوران بنفس السرعة الزاوية ، فإنهما بعد فترة زمنية ما $t\,$ سيأخذان الوضع المبين في الشكل الثاني، حيث نجد أن الزاوية التي يصنعها كل من الشعاعان السابقان ازدادت بالمقدار نفسه$\omega t\,$ فيما حافظ كل من الشعاعين على الوضع النسبي بينهما (لاحظ أن الفرق الزاوي بينهما بقي ). ولهذا السبب فإن تمثيل الموجات الجيبية في اللحظة الزمنية$t=0\,$. يكون كافيا تماما من أجل توصيف الدارة.

من الشكل أيضا يتبين لنا وضوح معنى تقدم أو تأخر موجة جيبية على أخرى، فعندما تكون موجة ما متقدمة على موجة أخرى، فإن الشعاع الممثل للموجة الأولى "سيسبق" الشعاع الممثل للثانية.

 المطاور

بما أن دور التيارات المتناوبة غالبا ما تكون قصيرة جدا (1/50 ثا مثلا) فإننا غالبا ما لا نكترث بالتمثيل الزمني الآني للموجة المتناوبة، بل نقصر اهتمامنا على مطال (سعة) الموجة A وطورها ، ولهذا يمكن أن نصف موجة ما باستخدام هذين المقدارين الذين يكتبان ككتلة واحدة تسمى المطاور بالشكل التالي: $A{\angle }\theta \,$ .

مثال: لتكن لدينا الموجة التالية:$a(t)=1.273\sin(\omega t+30^{o})\,$، فيكون المطاور في هذه الحالة$1.273{\angle }30^{o}\,$ وبما أنه من الشائع استخدام القيمة المنتجة (وهي السعة مقسومة على${\sqrt {2}}\,$ وسنشرحها بعد قليل إن شاء الله)، فإن المطاور يصبح بالشكل: $0.9{\angle }30^{o}\,$.

 القيمة الوسطى لمقدار جيبي

لتكن لدينا الموجة الجيبية التالية: $a(t)=A\sin(\omega t)\,$.

نلاحظ أن القيمة المتوسطة لهذه الموجة على دور واحد $T\,$ ستكون صفرا. لأن الموجة في نصف الدور الثاني ستكرر نفسها ولكن بقيم سالبة. (حاول أن تتأكد من ذلك بنفسك!).

لهذا السبب، نعرف القيمة الوسطية $A_{a}v\,$ للمقدار الجيبي $a\,$ على أنها القيمة الوسطية للموجة المقومة على دور كامل. وبالتالي نجد أنها:

$A_{\mathit {av}}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{t}{A\sin(\omega t)}{\mathit {dt}}={\frac {2A}{\pi }}\,$

 القيمة المنتجة لموجة جيبية

تعرف القيمة المنتجة (أو قيمة الجذر المتوسط التربيعي rms) لتيار متناوب على أنها قيمة التيار المستمر الذي لو مر في المقاومة لقدم إليها ذات الاستطاعة التي يقدمها التيار المتناوب. أو لنقل بشكل أبسط أنها قيمة التيار المستمر الذي لو مر في المقاومة نفسها لقام بتوليد كمية حرارة مماثلة خلال الزمن ذاته.

نعلم أن الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة $R\,$ إذا مر فيها تيار متناوب $i\,$ هي: $p={\mathit {Ri}}^{2}\,$

وبالتالي تكون الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{{\mathit {Ri}}^{2}}{\mathit {dt}}={\frac {R}{T}}\int _{0}^{T}{i^{2}}{\mathit {dt}}\,$

أما الاستطاعة التي يقدمها تيار مستمر $I_{e}ff\,$ لهذه المقاومة: $P={\mathit {RI}}_{\mathit {eff}}^{2}\,$

وبالتالي نجد أن قيمة التيار المنتجة: $I_{\mathit {eff}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{i(t)}^{2}{\mathit {dt}}}}\,$

وبالطريقة ذاتها نجد أن القيمة المنتجة للفلطية هي: $V_{\mathit {eff}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{v(t)}^{2}{\mathit {dt}}}}.\,$

ومن أجل $i(t)=I_{m}\sin(\omega t)\,$ نجد أن: $I_{\mathit {eff}}={\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}}\,$ وبطريقة مماثلة نجد أن $V_{\mathit {eff}}={\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}\,$

ملاحظة: سنحصل على النتائج نفسها من أجل: $i(t)=I_{m}\sin(\omega t+\theta )\,$

 تمثيل مقدار جيبي بقيمة عقدية

لو اضطررت للتعبير عن المسافة بين مدينتين، لكان بإمكاني أن أقدّم جوابا مؤلفا من رقم واحد، مرفقا بواحدة الميل أو الكيلومتر أو أية واحدة طول أخرى. أما لو اضطررت أن أعبر تعليمات السفر من مدينة لأخرى فلن يكفي عندها ما ذكرته آنفا: ففضلا عن مسافة السفر، يجب أن أذكر شيئا عن الاتجاه.

يسمى نوع المعلومات الذي يعبّر عن مقدار أحادي البعد (المسافة الخطية في مثالنا) بالمقدار السلمي. والأعداد السلمية هي ذلك النوع من الأعداد الذي استخدمناه في معظم التطبيقات الرياضية التي تعلمناها حتى الآن. فالفلطية التي تولّدها البطارية في دارة تيار مستمر مقدار سلمي، ومثلها مقاومة سلك نحاسي (أوم)، والتيار المار به (آمبير).

لكننا نجد أننا وعند تحليل دارات التيار المتناوب، فإن مقادير الفلطية والتيار والممانعة كلها لم تعد مقاديرا أحادية البعد كما اعتدناها أن تكون في دارات التيار المستمر، فبما أنها مقادير "ديناميكية" (أي متناوبة الجهة والطويلة) فإنها تمتلك أبعادا أخرى يجب مراعاتها: والتواتر والطور هما من المقادير التي يجب مراعاتها،

لهذه الأسباب سنتعامل مع تقانات وكائنات رياضية تستطيع تمثيل هذه المقادير متعددة الأبعاد، وسنستخدم لهذا الأمر الأعداد العقدية بدلا عن الأعداد السلمية الحقيقية. تماما كما في إعطاء تعليمات السفر بين مدينتين، فكما مر معنا لكل مقدار في التيار المتناوب سعة (تشابه المسافة)، وطور (تشابه الجهة)، والعدد العقدي يستطيع التعبير هذين البعدين، أي السعة والطور، في الوقت ذاته. سنقوم الآن ببعض العمليات الرياضية وبالاعتماد على علاقة أويلر للتوصل إلى التمثيل العقدي للتيار المتناوب.

ليكن لدينا التيار التالي: $i(t)=I_{m}\sin(\omega t+\theta )\,$

نعلم أن أي عدد عقدي يكتب بالشكل التالي: $z=[r,\theta ]=r(\cos \theta +j\sin \theta )\,$

وحسب علاقة أويلر يمكننا أيضا أن نكتب: $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta \,$

وبالتالي فمعادلة التيار المعطاة بدلالة التابع تمثل الجزء التخيلي من عدد عقدي. يمكننا أن نعبر عن كلامنا هذا بالتالي:

$I_{m}\sin(\omega t+\theta )={\mathit {Ima}}(I_{m}(\cos(\omega t+\theta )+j\sin(\omega t+\theta )))={\mathit {Ima}}(I_{m}e^{j(\omega t+\theta )})\,$

سنستخدم العدد العقدي $I_{m}e^{j\theta }\,$ للتعبير عن التيار. لاحظ أن صيغة التمثيل هذه هي ذاتها صيغة تمثيل المطاور. فعند تمثيل هذا العدد العقدي بيانيا في المستوي العقدي، سنحصل على العدد العقدي الممثل بالشعاع ذي الطويلة$I_{m}\,$ وذي الزاوية $\theta \,$ .

نلاحظ أننا أسقطنا الزمن في التمثيل العقدي للتيار المتناوب، وهذا صحيح. فالتمثيل $i(t)\,$ هو التمثيل الزمني، أما التمثيل العقدي $I\,$ المطاور فهو التمثيل في الحقل الترددي (رغم عدم ظهور التردد فيه).

ومن خلال الطريقة ذاتها، نجد أنه بإمكاننا تمثيل الفلطية $i(t)=I_{m}\sin(\omega t+\theta )\,$ بالعدد العقدي $V_{m}e^{j{\phi }}\,$.

 مفهوم الممانعة Z

تعبر ممانعة عنصر ما $Z\,$ عن مدى إعاقة هذا العنصر لمرور التيار فيه. فإذا تسببت فلطية عقدية $V\,$ بمرور تيار عقدي $I\,$ في عنصر ما، فإن ممانعة العنصر هي بالتعريف:

$Z={\frac {V}{I}}=R+jX\,$ حيث $j^{2}=-1\,$

$R\,$ و$X\,$ قيمتان حقيقيتان: فأما $R\,$ فهي مقاومة العنصر، وأما $X\,$ فتدعى تفاعلية العنصر.

1. ممانعة المقاومة الأومية: بما أن المقاومة لا تقوم بتخزين الطاقة، فإن تغيرا في الفلطية بين طرفيها يعطي تغيرا آنيا للتيار المار فيها، ومن ثم يكون كل من التيار والفلطية على توافق في الطور، أي:

$Z_{R}={\frac {V}{I}}={\frac {\left|V\right|{\angle }\theta }{\left|I\right|{\angle }\theta }}=R{\angle }0=R+0j\,$

ملاحظة: لا تتعلق ممانعة المقاومة بالنبض $\omega \,$

1. ممانعة الوشيعة المثالية: تخزن الوشيعة طاقة في حقلها المغناطيسي، وإن تغير التيار (وهذا ما يحصل باستمرار في التيار المتناوب) يتسبب تغيرا في الطاقة المخزنة، وبالتالي ينتج عن ذلك تغير في الفلطية على طرفي الوشيعة، وبالتالي فإن الفلطية والتيار ليسا على توافق في الوشيعة.

سنحاول استنتاج ممانعة الوشيعة المثالية. لنفرض أن التيار المار في وشيعة يعطى بالعلاقة: $i(t)=I_{m}\sin \omega t\,$

وبما أن الفلطية بين طرفي الوشيعة تعطى بالعلاقة: $v_{L}=L{\frac {\mathit {di}}{\mathit {dt}}}\,$ فتكون الفلطية إذا:

$v_{L}=\omega LI_{m}\cos \omega t=\omega LI_{m}{\sin(\omega t+90^{o})}=V_{m}\sin(\omega t+90^{o})\,$

حيث : $V_{m}=(\omega L)I_{m}=X_{L}I_{m}\,$ الفلطية العظمى بين طرفي الوشيعة. نسمي $X_{L}\,$ تفاعلية الوشيعة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية أن فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو 90 درجة. وبالتالي الفلطية متقدمة على التيار بهذا المقدار، والتيار متأخر عن الفلطية بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

$Z_{L}={\frac {V_{L}}{I}}={\frac {V_{m}{\angle }90^{o}}{I_{m}{\angle }0}}=({\frac {V_{m}}{I_{m}}}){\angle }(90^{o}-0)=j\omega L\,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة الوشيعة طردا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة كبيرة في الترددات العالية، وتكون صفرا عندما يكون النبض معدوما (فتقوم بإغلاق الدارة عند مرور تيار مستمر).

1. ممانعة المكثفة المثالية: تقوم المكثفة باختزان طاقة في حقلها الكهربائي، وبالتالي فإن التغير في الفلطية بين طرفيها يؤدي إلى تغير في الطاقة المختزنة، وبذلك يتغير التيار الذي يتدفق عبرها. وبالتالي لا تكون المكثفة والتيار على توافق في الطور.

سنحاول استنتاج ممانعة المكثفة المثالية. لنفرض أن الفلطية المطبقة على طرفيها تعطى بالعلاقة: $v_{c}(t)=V_{m}\sin \omega t\,$

وبما أن التيار المار في المكثفة يعطى بالعلاقة: $i=C{\frac {{\mathit {dv}}_{c}}{\mathit {dt}}}\,$ فيكون التيار إذا:

$v_{L}=\omega CV_{m}\cos \omega t=\omega LV_{m}{\sin(\omega t+90^{o})}=I_{m}\sin(\omega t+90^{o})\,$

حيث:$I_{m}=(\omega C)V_{m}={\frac {V_{m}}{X_{c}}}\,$ قيمة التيار العظمى التي تمر في الدارة. نسمي $X_{c}={\frac {1}{\mathit {wC}}}\,$ تفاعلية المكثفة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية أن فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو 90 درجة. وبالتالي التيار متقدم على الفلطية بمقدار 90 درجة ، والفلطية متأخرة عن التيار بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

$Z_{L}={\frac {V_{L}}{I}}={\frac {V_{m}{\angle }0}{I_{m}{\angle }90^{o}}}=({\frac {V_{m}}{I_{m}}}){\angle }(0-90^{o})=-j{\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{j\omega C}}\,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة المكثفة عكسا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة عالية في الترددات المنخفضة، وتكون ممانعتها لانهائية في التيار المستمر حيث يكون النبض معدوما.

وفي المحاضرة القادمة إن شاء الله سندرس بالتفصيل تمثيل هذه الممانعات بالإضافة إلى التيارات والفلطيات في المستوي العقدي وحسب إنشاء فرينيل، مما قد يسهل من استيعاب المفهوم بشكل كبير.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التأثرية B

هي مقلوب التفاعلية $X\,$، أي أنها مقلوب القسم التخيلي من الممانعة العقدية: $B={\frac {1}{X}}\,$

وبالتالي تأثرية الوشيعة:$B_{L}={\frac {1}{j\omega L}}\,$، وتأثرية المكثفة: $B_{c}=j\omega C\,$

 القبولية Y

هي مقلوب الممانعة العقدية $Z\,$، وتعطى بالعلاقة: $Y={\frac {1}{Z}}\,$

وبالتالي قبولية المقاومة:$Y_{R}={\frac {1}{R}}\,$، قبولية الوشيعة:$Y_{L}={\frac {1}{j\omega L}}\,$، قبولية المكثفة: $Y_{C}={\frac {1}{\frac {1}{j\omega C}}}=j\omega C\,$

 وصل الممانعات والممانعات المكافئة

1. من أجل n ممانعة موصولة على التسلسل، تكون قيمة الممانعة المكافئة مجموع قيم الممانعات:

$Z_{E}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}\,$

1. أما من أجل n ممانعة موصولة على التفرع، تكون مقلوب قيمة الممانعة المكافئة مجموع المقاليب:

${\frac {1}{Z_{E}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{Z_{i}}}$ أو $Y_{E}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,$

ومن أجل ممانعتين فقط موصولتين على التفرع يمكننا أن نكتب العلاقة بالشكل: $Z_{E}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\,$

 الاستطاعة

نعلم أن الاستطاعة الآنية لعنصر تعطى بالعلاقة: $p(t)=v(t)i(t)\,$، وفي حال عنصر يخضع لتيار متناوب، تأخذ علاقة كل من الفلطية والتيار الشكلين التاليين:

$v(t)=V_{m}\sin(\omega t+{\theta }_{1})\,$

$i(t)=I_{m}\sin(\omega t+\theta _{2})\,$

وبالتالي يمكننا أن نحسب الاستطاعة الآنية لهذا العنصر، فتكون (وباستخدام بعض التحويلات المثلثية!):

$p(t)=I_{m}V_{m}\sin(\omega t+\theta _{1})\sin(\omega t+\theta _{2})={\frac {-1}{2}}I_{m}V_{m}[\cos(2\omega t+\theta _{1}+\theta _{2})-\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]\,$

أي$p(t)={\frac {1}{2}}I_{m}V_{m}[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-\cos(2\omega t+\theta _{1}+\theta _{2})]\,$

الآن يمكننا حساب الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد من خلال العلاقة التالية: خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle P=\frac{1}{T-0}\int _{0}^{T}{p(t)\mathit{dt}\,}

وبالتالي:$P={\frac {1}{T}}V_{m}I_{m}[\int _{0}^{T}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}){\mathit {dt}}-\int _{0}^{T}{\cos(2\omega t+\theta _{1}+\theta _{2}){\mathit {dt}}}]\,$ التكامل الأول هو تكامل لمقدار ثابت لا يتعلق بالزمن. أما الثاني فهو تكامل لتابع جيبي نبضه $2\omega \,$ فهو معدوم، ومنه:

$P={\frac {1}{2T}}V_{m}I_{m}[T\times \cos(\theta _{1}-\theta _{2})-0]={\frac {1}{2}}V_{m}I_{m}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}V_{m}I_{m}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\,$

ومنه:${P=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\cos \phi }\,$

يسمى المقدار$\phi =\theta _{1}-\theta _{2}\,$ بعامل استطاعة الدارة. ويسمى المقدار $S=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\,$ بالاستطاعة الظاهرية وتقاس بواحدة الفولط آمبير VA.

أما المقدار$Q=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\sin \phi \,$ فهو الاستطاعة التفاعلية، وتقاس بواحدة الفولط آمبير التفاعلية VAR (اختصارا لـ Volt-Ampère-Reactive). ويمكن تمثيل المقادير الثلاث السابقة في مثلث الاستطاعة القائم.

ونلاحظ أن $S={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\,$

 مثال محلول

لتكن لدينا الدارة المبينة بالشكل، وبفرض أن النبض $\omega =400{\mathit {rad}}/s\,$ والقيمة المنتجة للمنبع هي 20V:

1. احسب التيار العقدي $I_{1}\,$ ثم التيارين العقديين $I_{2}\,$ و$I_{3}\,$.
2. احسب الاستطاعة المستهلكة في المقاومة $2\omega \,$، وفي المقاومة $5\omega \,$.
3. احسب الاستطاعة التفاعلية الكلية في الدارة $Q\,$.
4. احسب عامل الاستطاعة لهذه الدارة، ثم الاستطاعة الكلية المستهلكة فيها.

الحل:

الطلب الأول:. نعلم أن التيار العقدي $I_{1}\,$ يعطى بالعلاقة:$I_{1}={\frac {V}{Z_{E}}}\,$ لذلك فإننا سنقوم بحساب الممانعة الكلية للدارة.

لنقم أولا بحساب الممانعة المكافئة لكل من المكثفة والمقاومة $5\omega \,$.

$Z_{C}=-jX_{C}=-j{\frac {1}{\omega C}}=-j{\frac {1}{400\times 0.2510^{-3}}}=-j10\Omega \,$

و$Z_{5\Omega }=5\Omega \,$

فالممانعة المكافئة هي: $Z_{1}={\frac {Z_{5\Omega }Z_{C}}{Z_{5\Omega }+Z_{c}}}={\frac {-50j}{5-10j}}\,$

عندما نضطر إلى تقسيم (أو ضرب) عددين عقديين فإننا غالبا لا نلجأ إلى ضرب البسط والمقام بمرافق المقام، بل نقوم بتحويل العددين إلى الشكل المطاور الأسهل نسبيا حيث سنقوم بتقسيم الطويلتين، وطرح الزاويتين فقط.

من أجل تحويل عدد عقدي $x+jy\,$ إلى الشكل المطاور$A{\angle }\theta \,$ نستخدم العلاقات التالية:

للتحويل إلى شكل المطاور:$A={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$ و $\theta =\arctan({\frac {y}{x}})\,$

للعودة إلى الشكل العقدي التقليدي: $x=A\cos \theta \,$ و$y=A\sin \theta \,$

إذاً يمكننا الآن أن نقوم بإعادة كتابة $Z_{1}\,$ بالشكل:

$Z_{1}={\frac {50{\angle }-90^{o}}{11.18{\angle }-63.43^{o}}}=4.473{\angle }-26.57^{o}=4-2j\,$

الآن نحسب ممانعة الوشيعة فنجدها: $Z_{L}=jX_{L}=j\omega L=(400\times 10\times 10^{-3})=4j\,$

وبالتالي يمكننا الآن حساب الممانعة الكلية: $Z_{E}=Z_{2\Omega }+Z_{L}+Z_{1}=2+(4j)+(4-2j)=6+2j=6.32{\angle }18.43^{o}\,$

فيكون التيار العقدي $I_{1}:I_{1}={\frac {V}{Z_{E}}}={\frac {20{\angle }0^{o}}{6.32{\angle }18.43^{o}}}=3.165{\angle }-18.43^{o}=3-j\,$

من أجل حساب التيارين $I_{2}\,$ و$I_{3}\,$ نستخدم قانون مقسم التيار، فنجد:

$I_{3}=I_{1}{\frac {Z_{2}}{Z_{2}+Z_{3}}}=3.165{\angle }-18.43^{o}{\frac {5{\angle }0^{o}}{11.18{\angle }-63.43^{o}}}=1.415{\angle }45^{o}=1+j\,$

ومن أجل الحصول على التيار $I_{2}\,$ نطبق قانون كرشوف للتيارات فنجد:

$I_{2}=I_{1}-I_{3}=(3-j)-(1+j)=2-2j=2.828{\angle }45^{o}\,$

الطلب الثاني: بما أن التيار والفلطية متوافقان في مقاومة، ففرق الصفحة بينهما معدوم (راجع علاقة الاستطاعة التي مرت معنا)، فالاستطاعة المستهلكة هي جداء المقاومة في مربع طويلة التيار المنتج:

$P=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\cos(0^{o})=R{I_{\mathit {eff}}}^{2}\,$

في المقاومة $2\omega \,$: $2{I_{1}}^{2}=2\times 3.165^{2}\simeq 20W\,$

في المقاومة $5\omega \,$: $5{I_{3}}^{2}=5\times 2.828^{2}\simeq 40W\,$

الطلب الثالث:

الاستطاعة التفاعلية للمكثفة:$Q_{c}=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\sin -90^{o}=X_{c}{I_{\mathit {eff}}}^{2}\sin -90^{o}=-10\times 1.415^{2}\simeq -20{\mathit {VAR}}\,$

الاستطاعة التفاعلية للوشيعة:$Q_{L}=X_{L}{I_{1}}^{2}\sin(90^{o})=4\times 3.165^{2}\simeq 40{\mathit {VAR}}\,$

وبالتالي الاستطاعة التفاعلية للدارة: $Q=Q_{c}+Q_{L}=20{\mathit {VAR}}\,$

الطلب الرابع: عامل استطاعة الدارة هو $\cos \phi =\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\,$، أي هو جيب التمام لفرق الطور بين التيار والفلطية الكليين، وبما أن

$Z_{E}={\frac {V}{I}}={\frac {V{\angle }\theta _{1}}{I{\angle }\theta _{2}}}=(V/I){\angle }(\theta _{1}-\theta _{2})=6.32{\angle }18.43\,$

فيكون عامل استطاعة الدارة: $\cos \phi =\cos(18.43^{o})\simeq 0.95\,$

الاستطاعة الكلية المستهلكة في الدارة: $P=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\cos \phi =20\times 3.165\times 0.95\simeq 60W\,$

وهي تماما مجموع الاستطاعتين المستهلكتين في المقاومتين فقط. فالمكثفة والوشيعة المثاليتان عنصران لا يستهلكان الطاقة.

انتهت المسألة!

 الاستطاعة العقدية

ليكن لدينا عنصر فيه تيار متناوب$I=I_{\mathit {eff}}{\angle }\beta \,$ ، والفلطية المطبقة هي$V=V_{\mathit {eff}}{\angle }\alpha \,$ ، فتكون الاستطاعة المستهلكة:

$P=V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}\cos(\alpha -\beta )\,$ وحسب علاقة أويلر :$re^{\mathit {jx}}=r(\cos x+j\sin x)\,$، فإن الاستطاعة هي القسم الحقيقي للعدد العقدي: $V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}e^{j(\alpha -\beta )}\,$ أي

$P={\mathit {Real}}[V_{\mathit {eff}}I_{\mathit {eff}}e^{j(\alpha -\beta )}]={\mathit {Real}}[(V_{\mathit {eff}}e^{j\alpha })(I_{\mathit {eff}}e^{-j\beta })]\,$

ولكن$I_{\mathit {eff}}e^{-j\beta }=I_{\mathit {eff}}{\angle }-\beta \,$ ما هو إلا المرافق العقدي للتيار I أي: $I^{M}=I_{\mathit {eff}}e^{-j\beta }\,$، لأن مرافق أي عدد عقدي كما نعلم يعطى بالعلاقة: $(re^{j\theta })^{M}=re^{-j\theta }\,$. وبالتالي فالاستطاعة المستهلكة هي القسم الحقيقي لجداء الفلطية بالمرافق العقدي للتيار: $P={\mathit {Real}}[VI^{M}]\,$