دائرة

هذا المقال هو عن الشكل والمفهوم الهندسي. إذا كنت تريد الاستخدامات الأخرى، انظر دائرة (توضيح).

"360 درجة" و "360°" يـُحوّلا إلى هنا. للاستخدامات الأخرى, انظر 360 درجة (توضيح).

الدائرة هي شكل هندسي بسيط يتكون من مجموعة من النقاط التي تبعد بعداً ثابتا عن نقطة تسمى مركز الدائرة، وإذا تم الوصل يسمى بخط نصف القطر، فالدائرة قطاع مخروطي ينتج من قطع مخروط بمستو مواز لقاعدته، وهي المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تظل المسافة بينها وبين نقطة ثابتة أخرى (تسمى بالمركز) ثابتة. وهي مجموعة من النقاط تبعد بعدًا ثابتاً ( نصف القطر ) عن نقطة ثابته ( المركز ).

• قطر الدائرة هو الخط المار في مركز الدائرة ويصل بين نقطتين متقابلتين على محيط الدائرة، وقطر الدائرة (ق) يساوي 2* نق و (نق) هو نصف قطر الدائرة.

الدائرة
رسم توضيحي للدائرة يوضح القطر، نصف القطر، الوتر، قوس منها، والمحيط.

• وتر الدائرة:هو الخط الذي يصل بين نقطتيين تقعان على محيط الدائرة وليس بالضرورة أن تمر في المركز، فكل قطر وتر ولكن ليس كل وتر قطر

الرقم الثابت (ط Pi)ويساوي 22/7 ويساوي 3,14159.

• محيط الدائرة: هي طول المسافة حول محيط الدائرة وتساوي حاصل ضرب فطر الدائرة في النسبة الثابتة, أي ( ق*ط).

• مساحة الدائرة:هي مساحة المنطقة المحصورة ضمن محيط الدائرة وتساوي حاصل ضرب نصف قطر الدائرة مضروب في نفسه مضروب في النسبة الثابتة, أي (نق*نق*ط).

على وجه التحديد، الدائرة هي منحنى بسيط مغلق يقسم المستوى إلى منطقتين: داخلية و خارجية. في الاستخدام الاعتيادي، يمكن استخدام مصطلح "دائرة" بالتبادل للإشارة إما إلى حدود الشكل، أو إلى الشكل بأكمله بما في ذلك الجزء الداخلي منه؛ في الاستخدام التقني الصارم، الدائرة هي فقط الحدود ويسمى الشكل الكامل بالقرص.

يمكن تعريف الدائرة أيضاً على أنها نوع خاص من القطع الناقص حيث تكون البؤرتان متطابقتين و الانحراف المركزي يساوي 0، أو شكل ثنائي الأبعاد يتضمن أكبر مساحة لكل وحدة محيط مربعة، باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تعريف إقليدس

الدائرة عبارة عن شكل مستوٍ يحده خط منحني واحد، بحيث تكون جميع الخطوط المستقيمة المرسومة من نقطة معينة داخلها إلى الخط المحيط متساوية. يسمى الخط المحيط بمحيطه والنقطة مركزه.

—  عناصر إقليدس, الكتاب الأول^:4

 التعريف الطبولوجي

في مجال الطوبولوجيا، لا تقتصر الدائرة على المفهوم الهندسي، ولكن بكل أشكالها المتماثلة. هناك دائرتان طوبولوجيتان متكافئتان إذا كان من الممكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عبر تشوه R³ على نفسها (تُعرف باسم النظائر المحيطة).

 المصطلحات

• الحلقة الدائرية: جسم على شكل حلقة، المنطقة التي تحدها دائرتان متحدتا المركز.
• القوس: أي جزء متصل من الدائرة. يتيح تحديد نقطتي نهاية قوس ومركز لقوسين يشكلان معاً دائرة كاملة.
• المركز: النقطة متساوية البعد من جميع النقاط على الدائرة.
• الوتر: قطعة مستقيمة تقع نقاط نهايتها على الدائرة، وبالتالي تقسم الدائرة إلى جزأين.
• محيط الدائرة: طول دائرة واحدة على طول الدائرة، أو المسافة حول الدائرة.
• قطر الدائرة: قطعة مستقيمة تقع نهايتها على الدائرة والتي تمر عبر المركز؛ أو طول هذا الخط المستقيم. هذه هي أكبر مسافة بين أي نقطتين على الدائرة. إنها حالة خاصة للوتر، وهي أطول وتر لدائرة معينة، وطولها ضعف طول نصف القطر.
• القرص: منطقة من المستوى تحدها دائرة.
• العدسة: المنطقة المشتركة (تقاطع) قرصين متداخلين.
• الخط المار: خط مستقيم متحد المستوى ليس له نقطة مشتركة مع الدائرة.
• نصف القطر: قطعة مستقيمة تصل مركز دائرة بأي نقطة مفردة على الدائرة نفسها؛ أو طول هذا الجزء، وهو نصف (طول) القطر.
• القطاع: منطقة يحدها نصف قطر متساوي الطول مع مركز مشترك وأي من القوسين المحتملين، يتم تحديدهما بواسطة هذا المركز ونقاط نهاية نصف القطر.
• المقطع: منطقة يحدها وتر وأحد الأقواس التي تربط نقاط نهاية الوتر. يفرض طول الوتر حداً أدنى لقطر الأقواس الممكنة. في بعض الأحيان، يتم استخدام المصطلح "الجزء" فقط للمناطق التي لا تحتوي على مركز الدائرة التي ينتمي إليها القوس.
• القاطع: وتر ممتد، خط مستقيم متحد المستوى، يتقاطع مع دائرة في نقطتين.
• نصف دائرة: أحد القوسين المحتملين اللذين تحددهما نقاط نهاية القطر، مع الأخذ في منتصفه كمركز. في الاستخدام الشائع غير التقني، قد يعني ذلك الجزء الداخلي من المنطقة ثنائية الأبعاد التي يحدها قطر وأحد أقواسها، وهذا يُسمى تقنياً نصف - قرص. نصف القرص هو حالة خاصة من مقطع، أي أكبرها.
• المماس: خط مستقيم متحد المستوى له نقطة واحدة مشتركة مع دائرة ("يلمس الدائرة عند هذه النقطة").

يمكن اعتبار جميع المناطق المحددة مفتوحة، أي لا تحتوي على حدودها، أو مغلقة، بما في ذلك حدودها.

وتر، قاطع، مماس، نصف قطر، وقطر

القوس والقطاع والقطع

 تاريخ

إن الفرجار في هذه المخطوطة التي تعود للقرن الثالث عشر هي رمز لعمل الله في الخلق. لاحظ أيضاً الشكل الدائري لـ هالة.

قطعة دائرية من الحرير عليها صور منگولية

Circles in an رسم قديم فلكي عربي.

 نتائج تحليلية

 محيط الدائرة

المقالة الرئيسية: محيط الدائرة

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي π (پي)، ثابت غير نسبي يساوي تقريباً 3.141592654. وبالتالي فإن المحيط C مرتبط بنصف القطر r والقطر d من خلال:

$C=2\pi r=\pi d.\,$

 المساحة المطوقة

المساحة المحاطة بدائرة = π × مساحة المربع المظلل

كما أثبت أرخميدس، في قياس الدائرة، فإن المنطقة المحاطة بدائرة تساوي مساحة مثلث قاعدته لها طول محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطر الدائرة، والذي يساوي π مضروباً في مربع نصف القطر:

$\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,$

بالتساوي، نشير إلى القطر بواسطة d،

$\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},$

أي ما يقرب من 79٪ من المربع المحيط (الذي طول ضلعه d).

الدائرة هي منحنى المستوى الذي يحتوي على أقصى مساحة لطول قوس معين. هذا يربط الدائرة بمشكلة في حساب التفاضل والتكامل، وهي التباين متساوي القياس.

 المعادلات

 الإحداثيات الديكارتية

دائرة نصف القطر r = 1, المركز (a, b) = (1.2, −0.5)

معادلة الدائرة
في [[نظام الإحداثيات الديكارتية] x–y، الدائرة التي بها مركز الإحداثيات (a, b) ونصف القطر r هي مجموعة كل النقاط (x, y) مثل ذلك

$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.$

هذه المعادلة، المعروفة باسم معادلة الدائرة، تتبع مبرهنة فيثاگورس المطبقة على أي نقطة على الدائرة: كما هو موضح في الرسم البياني المجاور، نصف القطر هو وتر المثلث القائم الزاوية طول جوانبها الأخرى |x − a| and |y − b|. إذا كانت الدائرة متمركزة في الأصل (0 ، 0) ، فإن المعادلة يمكن تبسيطها

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\$

الصيغة الپارامترية
يمكن كتابة المعادلة في الصيغة الپارامترية باستخدام الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام

$x=a+r\,\cos t,\,$

$y=b+r\,\sin t\,$

حيث t هو متغير پارامتري في النطاق من 0 إلى π2، ويتم تفسيره هندسياً على أنه زاوية الشعاع من (a, b) إلى (x, y) مع المحور x الموجب .

الپارامتر البديل للدائرة هو:

$x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\,$

$y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,$

في هذه الپارامترية، يمكن تفسير نسبة t إلى r هندسياً على أنها الإسقاط المجسم للخط المار عبر المركز الموازي للمحور x (انظر استبدال الظل بنصف الزاوية). ومع ذلك، لا تعمل هذه الپارامترات إلا إذا تم وضع t في النطاق ليس فقط من خلال جميع القيم الحقيقية ولكن أيضاً إلى نقطة في اللانهاية ؛ خلاف ذلك، سيتم حذف النقطة الموجودة في أقصى يسار الدائرة.

صيغة 3 نقاط
تحدد معادلة الدائرة بثلاث نقاط $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ غير موجودة على نفس السطر من خلال التحويل من صيغة 3 نقاط من معادلة الدائرة

${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.$

الصيغة المتجانسة
في الإحداثيات المتجانسة، كل مقطع مخروطي مع معادلة الدائرة له شكل

$x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.\,$

يمكن إثبات أن المقطع المخروطي عبارة عن دائرة عندما تحتوي بالضبط (عند تمديدها إلى مستوي إسقاطي عقدي) على النقاط I(1: i: 0) و J(1: −i: 0). تسمى هذه النقاط النقاط الدائرية عند اللانهاية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الإحداثيات القطبية

في الإحداثيات القطبية، تكون معادلة الدائرة هي:

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,$

حيث a هو نصف قطر الدائرة، $(r,\theta )$ هو الإحداثي القطبي لنقطة عامة على الدائرة، و $(r_{0},\phi )$ هو الإحداثي القطبي لمركز الدائرة (على سبيل المثال، r₀ هي المسافة من نقطة الأصل إلى مركز الدائرة، و φ وهي زاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الموجب x - للخط الذي يربط الأصل بمركز الدائرة). بالنسبة للدائرة المتمركزة حول الأصل ، مثل r₀ = 0، يتم تقليل هذا إلى r = a. عندما r₀ = a، أو عندما يقع الأصل في الدائرة، تصبح المعادلة

$r=2a\cos(\theta -\phi ).\,$

في الحالة العامة ، يمكن حل المعادلة من أجل r، معطياً

$r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},$

لاحظ أنه بدون علامة ±، ستصف المعادلة في بعض الحالات نصف دائرة فقط.

 المستوي العقدي

في المستوي العقدي، تكون معادلة الدائرة التي يقع مركزها عند c ونصف القطر r:

$|z-c|=r\,$.

في الصيغة الپارامترية، يمكن كتابة هذا:

$z=re^{it}+c$.

المعادلة المعممة جزئياً

$pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q$

بالنسبة إلى p الحقيقية، وq و g العقدية تسمى أحياناً بـ الدائرة المعممة. تصبح هذه هي المعادلة أعلاه لدائرة بها $p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}$, عند $|z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}$. ليست كل الدوائر المعممة هي في الواقع دوائر: الدائرة المعممة هي إما دائرة (حقيقية) أو خط.

 الخطوط المماسية

يكون الخط المماسي المار بالنقطة P على الدائرة عمودياً على القطر الذي يمر عبر P. إذا كان P = (x₁, y₁) ووكان مركز الدائرة (a, b) ونصف القطر r، فإن خط المماس يكون عمودياً على الخط من (a, b) إلى (x₁, y₁)، فيكون لها شكل(x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. يحدد التقييم عند (x₁, y₁) قيمة c والنتيجة هي أن معادلة المماس

$(x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,$

أو

$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\$

إذا كان y₁ ≠ b عندها يكون ميل هذا الخط

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.$

يمكن إيجاد ذلك أيضاً باستخدام التفاضل الضمني.

عندما يكون مركز الدائرة في الأصل، تصبح معادلة خط المماس

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\$

ويكون ميله

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.$

 الخصائص

• الدائرة هي الشكل ذو المساحة الأكبر لطول محيط معين. (انظر التباين متساوي القياس.)
• الدائرة ذات شكل متماثل للغاية: كل خط يمر بالمركز يشكل خطاً من تناظر الانعكاس وله تماثل دوراني حول المركز لكل زاوية. مجموعة التناظر هي المجموعة المتعامدة O(2,R). مجموعة التدوير وحدها هي مجموعة الدوائر T.
• جميع الدوائر متشابهة.
  • يكون محيط الدائرة ونصف قطرها متناسبان.
  • المساحة المغلقة ومربع نصف قطرها متناسبان.
  • إن ثوابت التناسب هما 2π و π على التوالي.
• الدائرة المتمركزة في الأصل بنصف قطر 1 تسمى دائرة وحدة.
  • يُنظر إلى الدائرة العظمى من كرة وحدة، فإنها تصبح الدائرة الريمانية.
• من خلال أي ثلاث نقاط، وليس جميعها على نفس الخط، توجد دائرة فريدة. في الإحداثيات الديكارتية، من الممكن إعطاء صيغ واضحة لإحداثيات مركز الدائرة ونصف القطر بدلالة إحداثيات النقاط الثلاث المحددة. انظر دائرة محيطة.

 الوتر

• تكون الأوتار على مسافة متساوية من مركز الدائرة إذا وفقط إذا كانت متساوية في الطول.
• المنصف العمودي للوتر يمر عبر مركز الدائرة ؛ العبارات المكافئة الناشئة عن تفرد المنصف العمودي هي:
  • خط عمودي من مركز الدائرة ينصف الوتر.
  • إن القطعة المستقيمة المارة في الوسط الذي ينصف الوتر هو عمودي على الوتر.
• إذا كانت الزاوية المركزية و الزاوية المحيطية للدائرة يقابلها نفس الوتر وعلى نفس الجانب من الوتر، فإن الزاوية المركزية تكون ضعف الزاوية المحيطية.
• إذا تم إحاطة زاويتين على نفس الوتر وعلى نفس الجانب من الوتر، فإنهما متساويتان.
• إذا تم تسجيل زاويتين على نفس الوتر وعلى جانبي الوتر المتقابل، فهما مكملتان.
  • بالنسبة إلى رباعي الأضلاع الدوري، فإن الزاوية الخارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة.
• الزاوية المحيطية التي يقابلها القطر هي الزاوية القائمة (انظر مبرهنة تالس).
• القطر هو أطول وتر في الدائرة.
  • من بين جميع الدوائر التي يشترك فيها وتر AB، فإن الدائرة ذات نصف القطر الأدنى هي الدائرة التي يبلغ قطرها AB.
• إذا كان تقاطع أي وتران تقسم وتراً واحداً إلى أطوال a و b وتقسم الوتر الآخر إلى أطوال c و d، ثم ab = cd.
• إذا كان تقاطع أي وترين متعامدين يقسم وتراً واحداً إلى أطوال a و b ويقسم الوتر الآخر إلى أطوال c و d، ثم a² + b² + c² + d² يساوي مربع القطر.
• مجموع الأطوال التربيعية لأي وترين متقاطعتين عند الزوايا القائمة عند نقطة معينة هو نفس مجموع أي وترين متعامدين آخرين يتقاطعان في نفس النقطة، ويعطى بمقدار 8r ² – 4p ² (حيث r نصف قطر الدائرة و p هي المسافة من نقطة المركز إلى نقطة التقاطع).
• المسافة من نقطة على الدائرة إلى وتر معين مضروبة في قطر الدائرة تساوي جداء المسافات من النقطة إلى نهايات الوتر.^:p.71

 المماس

• يعتبر الخط المرسوم عمودياً على نصف القطر عبر نقطة نهاية نصف القطر الموجود على الدائرة مماساً للدائرة.
• يمر خط مرسوم عمودياً على المماس عبر نقطة الاتصال بدائرة عبر مركز الدائرة.
• يمكن دائماً رسم مماسين لدائرة من أي نقطة خارج الدائرة، وهذه المماسان متساويتان في الطول.
• إذا تقاطع المماس عند A والمماس عند B عند النقطة الخارجية P، فيتم الإشارة إلى المركز كـ O، والزوايا ∠BOA و ∠BPA متكاملة.
• إذا كان "AD" مماسًا للدائرة عند A وإذا كان AQ هو وتر من الدائرة، إذن ∠DAQ = 1/2arc(AQ).

 المبرهنات

مبرهنة الخط المستقيم القاطع للمنحني لجزأين أو أكثر

انظر أيضاً: قوة نقطة

• تنص مبرهنة الأوتار على أنه إذا تقاطع وتران، CD و EB، عند A، فإن AC × AD = AB × AE.
• إذا كان هناك قاطعان، AE و AD، فهو يقطع أيضاً بقطع الدائرة عند B و C على التوالي، عندها AC × AD = AB × AE. (نتيجة طبيعية لمبرهنة الوتر.)
• يمكن اعتبار المماس حالة مقيدة للقاطع الذي تكون نهاياته متزامنة. إذا التقى المماس من نقطة خارجية A الدائرة عند F و قاطع من النقطة الخارجية A يلتقي بالدائرة عند C و D على التوالي، عندها AF² = AC × AD. (مبرهنة المماس القاطع.)
• الزاوية بين الوتر والمماس عند إحدى نقاط نهايته تساوي نصف الزاوية المقابلة في مركز الدائرة، على الجانب المقابل من الوتر (زاوية وتر المماس).
• إذا كانت الزاوية التي يقابلها الوتر في المركز هي 90 درجة عندها ℓ = r √2, حيث ℓ هو طول الوتر و r هو نصف قطر الدائرة.
• إذا تم تسجيل قاطعين في الدائرة كما هو موضح على اليمين، فإن قياس الزاوية A يساوي نصف فرق قياسات الأقواس المغلقة (${\overset {\frown }{DE}}$ و ${\overset {\frown }{BC}}$). وهذا هو، $2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}$ حيث O هو مركز الدائرة. (مبرهنة القاطع.)

 الزوايا المحيطية

انظر أيضاً: مبرهنة الزاوية المحيطية

مبرهنة الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية (الأمثلة هي الزاويتان الزرقاء والخضراء في الشكل) هي بالضبط نصف الزاوية المركزية (الحمراء) المقابلة. ومن ثم، فإن جميع الزوايا المحيطة التي تقابل نفس القوس (الوردي) متساوية. الزوايا المحيطة على القوس (البني) تكميلية. على وجه الخصوص، كل زاوية محيطية تقابل القطر هي زاوية قائمة (لأن الزاوية المركزية هي 180 درجة).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 القوس

القوس هو الجزء الرأسي.

• القوس (المعروف أيضاً باسم الجيب) عبارة عن قطعة مستقيمة مرسومة بشكل عمودي على الوتر، بين نقطة المنتصف لهذا الوتر وقوس الدائرة.
• بالنظر إلى طول y من الوتر، وطول x من القوس، يمكن استخدام نظرية فيثاگورس لحساب نصف قطر الدائرة الفريدة التي ستلائم الخطين :

$r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.$

دليل آخر على هذه النتيجة، والذي يعتمد فقط على خاصيتي الوتر المذكورتين أعلاه، هو كما يلي. بالنظر إلى وتر من الطول y ومع القوس بطول x، نظراً لأن القوس يتقاطع مع نقطة منتصف الوتر، فإننا نعلم أنه جزء من قطر الدائرة. نظراً لأن القطر يبلغ ضعف نصف القطر، فإن الجزء "المفقود" من القطر يكون (2r − x) في الطول. باستخدام حقيقة أن أحد أجزاء الوتر مضروباً في الجزء الآخر يساوي نفس الجداء المأخوذ على طول الوتر ويتقاطع مع الوتر الأول، نجد أن (2r − x)x = (y / 2)². بحل r، نجد النتيجة المطلوبة.

 الفرجار والإنشاءات المستقيمة

هناك العديد من إنشاءات الفرجار والمسطرة التي ينتج عنها دوائر.

الأبسط والأكثر أساسية هو الإنشاء بمعرفة مركز الدائرة ونقطة على الدائرة. ضع الساق الثابتة من الفرجار على النقطة المركزية، والساق المتحركة على النقطة الموجودة على الدائرة وقم بتدوير الفرجار.

 الإنشاء بقطر معين

• أنشئ نقطة وسط القطر M.
• قم ببناء الدائرة بالمركز M الذي يمر عبر إحدى نقاط نهاية القطر (سيمر أيضاً عبر نقطة النهاية الأخرى).

أنشئ دائرة عبر النقاط A و B و C بإيجاد المنصفات العمودية (الحمراء) لأضلاع المثلث (الأزرق). هناك حاجة إلى اثنين فقط من المنصفات الثلاثة للعثور على المركز.

 الإنشاء من خلال ثلاث نقاط غير متداخلة خطياً

• قم بتسمية النقاط P, Q و R،
• قم بإنشاء منصف عمودي من القطعة PQ.
• قم بإنشاء منصف عمودي من المقطع PR.
• قم بتسمية نقطة التقاطع بين هذين المنصفين المتعامدين M. (يلتقيان لأن النقاط ليست متداخلة خطياً).
• أنشئ الدائرة بالمركز M مروراً بإحدى النقاط P, Q أو R (سيمر أيضاً بالنقطتين الأخريين).

 دوائر أپولونيوس

انظر أيضاً: دوائر أپولونيوس

تعريف أپولونيوس الدائرة: يكون d₁/d₂ ثابت

أظهر أپولونيوس من پرگا أنه يمكن تعريف الدائرة أيضاً على أنها مجموعة من النقاط في مستوى لها "نسبة" ثابتة (بخلاف 1) من المسافات إلى بؤرتين ثابتتين، A و B. (مجموعة النقاط التي تتساوى فيها المسافات هي المنصف العمودي للقطعة AB، مستقيمة) يُقال أحياناً أن هذه الدائرة مرسومة حول نقطتين.

البرهان من جزأين. أولاً، يجب على المرء أن يثبت أنه، بالنظر إلى بؤرتين A و B ونسبة المسافات، يجب أن تقع أي نقطة P تحقق نسبة المسافات على دائرة معينة. لنجعل C نقطة أخرى، تحقق أيضاً النسبة وتقع على الجزء AB. من خلال [[مبرهنة منصف الزاوية] ، فإن القطعة المستقيمة PC ستقسم الزاوية الداخلية APB، نظراً لأن المقاطع متشابهة:

${\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.$

بشكل مماثل، القطعة المستقيمة PD عبر نقطة معينة D على AB الممتدة ينصف الزاوية الخارجية BPQ حيث تكون Q على AP الممتدة. بما أن مجموع الزاويتين الداخلية والخارجية 180 درجة، فإن الزاوية CPD تساوي 90 درجة بالضبط، أي زاوية قائمة. مجموعة النقاط P مثل تلك الزاوية CPD هي الزاوية قائمة التي تشكل دائرة، و CD هو قطر.

ثانياً، انظر^:p.15 لإثبات أن كل نقطة في الدائرة المشار إليها تحقق النسبة المحددة.

 نسب-التقاطع

تتضمن خاصية الدوائر هندسة وثيقة الصلة بنسبة التقاطع من النقاط في المستوى العقدي. إذا كانت A و B و C على النحو الوارد أعلاه، فإن دائرة أپولونيوس لهذه النقاط الثلاث هي مجموعة النقاط P التي لها القيمة المطلقة لنسبة التقاطع المساوية للواحد:

$|[A,B;C,P]|=1.\$

بطريقة أخرى، P هي نقطة على دائرة أپولونيوس إذا وفقط إذا كانت النسبة المتقاطعة [A,B;C,P] على دائرة الوحدة في المستوى العقدي.

  الدوائر المعممة

انظر أيضاً: دوائر معممة

إذا كانت C هي نقطة وسط للمقطع AB، فإن مجموعة النقاط P تفي بشرط أپولونيوس

${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}$ 

ليست دائرة، بل خط.

وبالتالي، إذا تم إعطاء A, B, و C نقاط مميزة في المستوى، فإن موضع النقاط P التي تحقق المعادلة أعلاه يسمى بالدائرة المعممة. قد تكون إما دائرة أو خطاً حقيقياً. بهذا المعنى فإن الخط هو دائرة معممة من نصف قطر لانهائي.

 رسم دوائر دداخلية أو محيطة حول أشكال أخرى

في كل مثلث يمكن رسم دائرة فريدة، تسمى دائرة داخلية ، بحيث تكون مماس على كل جانب من الجوانب الثلاثة للمثلث.

حول كل مثلث، يمكن حصر دائرة فريدة، تسمى دائرة محيطية، بحيث تمر عبر كل من رؤوس المثلث الثلاثة.

إن المضلع المماسي، مثل رباعي الأضلاع المماسي، هو أي مضلع محدب يمكن رسم دائرة بداخله مماسية لكل جانب من جوانب المضلع. وكل مضلع منتظم وكل مثلث هو مضلع مماسي.

المضلع الدائري هو أي مضلع محدب يمكن حصر دائرة حوله دائرة يمكن حصرها، تمر عبر كل رأس. رباعي الأضلاع الدوري هو مثال مدروس جيداً. كل مضلع منتظم وكل مثلث هو مضلع دوري. يسمى المضلع الدوري والمماسي بالمضلع ثنائي المركز.

هيپوسيكلويد هو منحنى مرسوم في دائرة معينة عن طريق تتبع نقطة ثابتة على دائرة أصغر تلتف داخل الدائرة المعينة ووتبقى مماسية للدائرة المطلوبة.

 الحالة المحدودة لباقي الأشكال

يمكن النظر إلى الدائرة على أنها حالة محدودة لكل من الأشكال المختلفة الأخرى: البيضوي الديكارتي عبارة عن مجموعة من النقاط بحيث يكون المجموع الموزون للمسافات من أي نقطة من نقاطها إلى نقطتين ثابتتين ( بؤرتين) ثابتاً. القطع الناقص هو الحالة التي تكون فيها الأوزان متساوية. الدائرة عبارة عن قطع ناقص مع اختلاف مركزي صفري، مما يعني أن البؤرتين تتطابقان مع بعضهما البعض كمركز للدائرة. الدائرة هي أيضاً حالة خاصة مختلفة للشكل البيضوي الديكارتي حيث يكون أحد الأوزان صفراً.

• للقطع الناقص الفائق معادلة للصيغة الإيجابية $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ a, b, و n. لدى الدائرة الفائقة b = a. الدائرة هي الحالة الخاصة للدائرة الفائقة التي فيها n = 2.
• بيضوي كاسيني هي مجموعة من النقاط بحيث يكون جداء المسافات من أي نقطة من نقطتها إلى نقطتين ثابتتين ثابتاً. عندما تتطابق النقطتان الثابتتان، تنتج دائرة.
• منحنى العرض الثابت هو شكل عرضه، محدد على أنه المسافة العمودية بين خطين متوازيين مختلفين يتقاطع كل منهما مع حدوده في نقطة واحدة، هو نفسه بغض النظر عن اتجاه هذين الخطين المتوازيين. الدائرة هي أبسط مثال على هذا النوع من الأشكال.

 في معايير-p الأخرى

الرسوم التوضيحية لـ دائرة الوحدة (انظر أيضاً قطع ناقص فائق) بمعايير-p مختلفة (كل متجه من الأصل إلى دائرة الوحدة له طول واحد، يتم حساب الطول بصيغة الطول المقابلة p).

عند تعريف الدائرة على أنها مجموعة من النقاط بمسافة ثابتة من نقطة، يمكن اعتبار الأشكال المختلفة دوائر وفقاً لتعريفات مختلفة للمسافة. في معيار-p، يتم تحديد المسافة بواسطة

$\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$

في الهندسة الإقليدية، p = 2، مما يعطي

$\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.$

المشهورة

في هندسة التاكسي، p = 1. دوائر التاكسي عبارة عن مربعات مع توجيه جوانبها بزاوية 45 درجة إلى محاور الإحداثيات. بينما سيكون لكل جانب طول ${\sqrt {2}}r$ باستخدام مقياس إقليدي، حيث r هو نصف قطر الدائرة، وطوله في هندسة التاكسي هو 2r. وبالتالي، فإن محيط الدائرة هو 8r. وبالتالي، فإن قيمة التناظرية الهندسية لـ $\pi$ هي 4 في هذه الهندسة. صيغة دائرة الوحدة في هندسة التاكسي هي $|x|+|y|=1$ في الإحداثيات الديكارتية و

$r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}$

في الإحداثيات القطبية.

دائرة نصف قطرها 1 (باستخدام هذه المسافة) هي جوار ڤون نيومان لمركزها.

دائرة نصف قطرها r لـ مسافة تشيبيشيڤ (L_∞ قياسي) على مستوى هي أيضاً مربع بطول ضلعه 2r بالتوازي مع محاور الإحداثيات، لذلك يمكن النظر إلى مسافة تشيبيشيڤ المستوية على أنها مكافئة بالتدوير والقياس لمسافة التاكسي المستوي. ومع ذلك، فإن هذا التكافؤ بين مقاييس L₁ و L_∞ لا يتم تعميمه على الأبعاد الأعلى.

 تربيع الدائرة

المقالة الرئيسية: تربيع الدائرة

تربيع الدائرة هي المسألة التي اقترحتها المقاييس الهندسية القديمة، وهي إنشاء مربع بنفس مساحة دائرة معينة باستخدام عدد محدود فقط من الخطوات باستخدام الفرجار والمسطرة.

في عام 1882، ثبت أن المهمة مستحيلة، كنتيجة لـ مبرهنة لندمان-ويرشتراس، التي تثبت أن pi (π) هو رقم متسام، وليس عدد جبري غير نسبي؛ وهذا يعني أنه ليس جذر لأي متعدد حدود ذو معاملات كسرية.

 الأهمية في الفن والرمزية

منذ زمن أقدم الحضارات المعروفة - مثل الآشوريين والمصريين القدماء، وتلك الموجودة في وادي السند وعلى طول النهر الأصفر في الصين، والحضارات الغربية لليونان القديمة وروما خلال العصور القديمة الكلاسيكية - تم استخدام الدائرة مباشرة أو بشكل غير مباشر في الفن المرئي لنقل رسالة الفنان والتعبير عن أفكار معينة. ومع ذلك، كان للاختلافات في النظرة العالمية (المعتقدات والثقافة) تأثير كبير على تصورات الفنانين. بينما أكد البعض على محيط الدائرة لإظهار تجلياتهم الديمقراطية، ركز آخرون على مركزها لترمز إلى مفهوم الوحدة الكونية. في العقائد الصوفية، ترمز الدائرة بشكل أساسي إلى الطبيعة اللانهائية ودورية الوجود، ولكنها في التقاليد الدينية تمثل الأجرام السماوية والأرواح الإلهية. تشير الدائرة إلى العديد من المفاهيم المقدسة والروحية، بما في ذلك الوحدة، واللانهاية، والكمال، والكون، والألوهية، والتوازن، والاستقرار، والكمال، وغيرها. تم نقل مثل هذه المفاهيم في الثقافات في جميع أنحاء العالم من خلال استخدام الرموز، على سبيل المثال، البوصلة ، والهالة، والمثيرة السمكية ومشتقاتها (الأسماك، والعين، والهالة، والماندورلا، إلخ)، و أوروبوروس، و عجلة دارما، قوس قزح، ماندالا، نوافذ وردية وما إلى ذلك.

 انظر أيضاً

• Affine sphere
• Annulus (mathematics)
• Apeirogon
• Circle fitting
• Inversion in a circle
• List of circle topics
• Sphere
• Three points determine a circle
• Translation of axes

 الدوائر ذات الأسماء الخاصة

• Unit circle
• Apollonian circles
• Chromatic circle
• Ford circle
• Circle of antisimilitude
• Carlyle circle
• Bankoff circle
• Archimedes' twin circles
• Archimedean circle
• Johnson circles
• Schoch circles
• Woo circles

 لمثلث

• Mandart circle
• Spieker circle
• Nine-point circle
• Lemoine circle
• Circumcircle
• Incircle
• Excircle
• Apollonius circle of the excircles
• Lester circle
• Malfatti circles
• Brocard circle
• Orthocentroidal circle
• Van Lamoen circle
• Parry circle
• Polar circle (geometry)

 لبعض رباعيات الأضلاع

• Eight-point circle of an orthodiagonal quadrilateral
• Incircle of a tangential quadrilateral
• Circumcircle of a cyclic quadrilateral

 لبعض المضلعات

• Circumcircle of a cyclic polygon
• Incircle of a tangential polygon

 لبعض المقاطع المخروطية

• Director circle
• Directrix circle

 للكرة

• Great circle
• Riemannian circle

 للاستدارة

• Villarceau circles

 انظر أيضاً

• Pedoe, Dan (1988). Geometry: a comprehensive course. Dover.
• "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Circle", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• قالب:PlanetMath
• Eric W. Weisstein, Circle at MathWorld.
• "Interactive Java applets". for the properties of and elementary constructions involving circles
• "Interactive Standard Form Equation of Circle". Click and drag points to see standard form equation in action
• "Munching on Circles". cut-the-knot